邻接矩阵（Adjacency Matrix）

在 什么是网络 中，

可以用文字描述：

• A 与 B 合作。
• A 与 C 合作。
• B 与 C 合作。
• C 与 D 合作。
  也可以用集合描述：

\[E=\{\{A,B\},\{A,C\},\{B,C\},\{C,D\}\} \]

但是如果要进行大量网络运算，使用矩阵会更加方便，这就引出了邻接矩阵

邻接矩阵是用一个矩阵记录网络中各个节点之间是否存在直接连接关系的一种数学表示方式。
对于包含\(n\)个节点的网络，可以用一个\(n\times n\) 的矩阵表示连接关系：

\[\mathbf A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix} \]

其中：

• \(\mathbf A\)：邻接矩阵。
• \(n\)：节点总数。
• \(a_{ij}\)：第\(i\)个节点与第\(j\)个节点的连接情况。
  对于论文[[Qiu et al. (2025)｜长三角府际碳减排协作的网络演化博弈]]使用的二值网络：

\[a_{ij}= \begin{cases} 1,&\text{节点 }i\text{ 与 }j\text{ 存在直接连接} \\0,&\text{节点 }i\text{ 与 }j\text{ 不存在直接连接} \end{cases} \]

将上图例子中的四政府合作转化为邻接矩阵即为：
按照 A、B、C、D 的顺序排列矩阵的行和列，每行代表一个地方政府，每列代表另一个地方政府，行列交叉位置的元素表示两者是否直接相连。

\[\mathbf A= \begin{bmatrix} 0&1&1&0\\ 1&0&1&0\\ 1&1&0&1\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}\]

[!note] 注意
因为例子中政府间的合作关系视为无向边，构建的是无向网络，所以其邻接矩阵对称,数学公式为：$$a_{ij}=a_{ji}\quad\text{（无向网络）}$$
无向网络的邻接矩阵是对称的，但并非所有邻接矩阵都对称。
同时，例子中不考虑政府与自己合作，所以主对角线元素为0，数学公式为$$a_{ii}=0\quad\text{（无自环网络）}$$

自我检查

问题1：如果邻接矩阵中 \(a_{AC}=0\)，是否意味着 A 和 C 无法通过其他节点产生联系？

不一定。\(a_{AC}=0\) 只表示 A 与 C 没有直接连接。如果 A 与 B、B 与 C 都存在连接，那么 A 可以通过 B 与 C 产生间接联系。

问题2：如果一个二值网络的邻接矩阵不对称，说明什么？

说明该网络存在具有方向性的连接关系，可以将其理解为有向网络。例如，A 向 B 发起交流不一定意味着 B 向 A 发起交流。