决策单调性优化DP

决策单调性优化DP

何为决策单调性？

\(dp\) 转移时常会出现以下几种情形：（以 \(min\) 为例）

1. \(dp[i]=min_{j<i}(dp[j]+w(j,i))\)

2. \(dp[i][j]=min_{j<i}(dp[i-1][j]+w(j,i))\)

3. \(dp[l][r]=min_{l\le k\le r}(dp[l][k]+dp[k+1][j])+w(i,j)\)

当前状态从哪里转移来，哪里就是最优决策点。（如最优决策点 \(j\) 是满足 \(dp[j]+w(j,i)\) 最小的 \(j\) ）

决策单调性顾名思义就是最优决策点的移动是有规律的。

以第一种情形来说就是 \(i\) 的最优决策点一定小于等于 \(i+1\) 的最优决策点。

那么借助这个性质就可以优化 \(dp\)

决策单调性的判定条件：

四边形不等式:

对于代价函数 \(w(l,r)\) ，若对于任意 \(a\le b\le c \le d\) ，满足：

\[w(a,c)+w(b,d)\le w(a,d)+w(b,c) \]

则称 \(w\) 满足四边形不等式（交叉小于包含）。

据此我们可以证明情形一二的决策单调性：

设 \(dp[i]\) 的最优决策点为 \(j\) ，然后随便指定一个点 \(k\) 使得 \(k< j\) ，已知 \(dp[k]+w(k,i)\ge dp[j]+w(j,i)\)

那么:

\(dp[i+1]\) 从 \(dp[k]\) 转移的代价为 \(dp[k]+w(k,i+1)\) ，从 \(dp[j]\) 转移的代价是 \(dp[j]+w(j,i+1)\) 。

因为 \(dp[k]+w(k,i)\ge dp[j]+w(j,i)\)，所以 \(dp[k]-dp[j]\ge w(j,i)-w(k,i)\)

根据决策单调性，\(w(j,i)-w(k,i)\le w(j,i+1)-w(k,i+1)\)

所以 \(dp[k]-dp[j]\ge w(j,i+1)-w(k,i+1)\)

移项后就得到了 \(dp[k]+w(k,i+1)\ge dp[j]+w(j,i+1)\)

故最优决策点一定单调不降。

如果 \(w(l,r)\) 还额外满足 \(w(b,c)\le w(a,d)\) ，那么就能推出区间 \(dp\) 的决策单调性（即情形三）：

先证明 \(dp\) 数组也满足四边形不等式（用归纳法，这里省略，具体见DP满足四边形形不等式证明）。

证明 \(opt[l][r - 1] \leq opt[l][r]\)

记 \(p = opt[l][r - 1]\)，即 \(p\) 是区间 \([l, r - 1]\) 的最优分割点。

我们需证明：

\(dp[l][p] + dp[p + 1][r] \leq dp[l][k] + dp[k + 1][r]\) ( \(k < p\) ）

(注意两边都少了相同的 \(w(l, r)\)，所以比较时可以省略。)

因为 \(p\) 是 \([l, r - 1]\) 的最优分割点，所以对于所有 \(k < p\)，有：

\(dp[l][p] + dp[p + 1][r - 1] \leq dp[l][k] + dp[k + 1][r - 1]\) (1)

由于 \(k + 1 \leq p + 1 \leq r - 1 \leq r\)

应用四边形不等式到 \(a = k + 1, b = p + 1, c = r - 1, d = r\)：

\(dp[k + 1][r - 1] + dp[p + 1][r] \leq dp[k + 1][r] + dp[p + 1][r - 1]\) (2)

将 (1) 和 (2) 相加：

左边相加：

\(dp[l][p] + dp[p + 1][r - 1] + dp[k + 1][r - 1] + dp[p + 1][r]\)

右边相加：

\(dp[l][k] + dp[k + 1][r - 1] + dp[k + 1][r] + dp[p + 1][r - 1]\)

注意到两边都有 \(dp[p + 1][r - 1]\) 和 \(dp[k + 1][r - 1]\)，它们会抵消。相加后得到：

\(dp[l][p] + dp[p + 1][r] \leq dp[l][k] + dp[k + 1][r]\)

因此对于任何 \(k < p\)，用 \(p\) 分割 \([l, r]\) 的代价都不大于用 \(k\) 分割的代价。

所以最优分割点 \(opt[l][r]\) 不可能小于 \(p\)，即 \(opt[l][r] \geq opt[l][r - 1]\)。这证明了左不等式。

右不等式同理。

怎么优化DP?

乍一看好像直接双指针优化就行了，因为每一步并没有保证从 \(1-i\) 是一个单峰函数。

也就是说可能指针 \(p\) 发现 \(p+1\) 的值比 \(p\) 要大，就不走了。但实际最小值可能是在 \(p+2\) 的位置。

那怎么做呢，这里分情况讨论：

第一种情况：\(dp[i]=min_{j<i}(dp[j]+w(j,i))\)

维护一些决策三元组（恰好覆盖 \([1-n]\) ），形如 \((j,l,r)\) 表示 \(j\) 这个决策点在 \([l,r]\) 是最优的。

最初是的决策三元组是 \((0,1,n)\)

处理 \(dp[i]\) 时从队首开始看，如果当前队首的决策三元组的区间包含 \(i\) （即 \(r\ge i\) ），那么就可以直接从这个决策点转移，否则就直接弹出队首。

然后考虑用 \(dp[i]\) 去更新决策三元组，也就是我们想知道哪一段区间的最优决策点能更新为 \(i\) 。（下文中管辖的定义：若某区间的最优决策点都是 \(i\) ，则称 \(i\) 管辖这段区间）

从队尾往前看：

首先，队尾的决策三元组的最优决策点一定是小于 \(i\) 的。

其次，根据决策单调性，越靠后的点的决策最优点越有可能是 \(i\) 。

因此大致想到去二分答案，但是现在二分的区间（\([i+1-n]\)）可能被很多个决策三元组切碎了。

但是发现只需要判断某个决策三元组区间起点 \(l\) 从 \(j\) 转移和从 \(i\) 转移哪个更优，就能判断这个区间应不应该全部划给 \(i\) 管辖。（决策单调性: \(l\) 的决策点中 \(i\) 优于 \(j\) ，后面的那 \(i\) 就更优于 \(j\) ）

先把队尾所有被 \(i\) 管辖的区间弹出（如下图中删除区间 \([r+1,n]\)），然后在不能完全划给 \(i\) 管辖的区间里面二分出一个分界线，那么分界线后面就都归 \(i\) 管辖。

如图所示，假设区间 \([l+1,r]\) 被 \(j\) 管辖。

那么二分一个 \(mid\) ，使得 \(mid\) 从 \(i\) 转移更优，而 \(mid-1\) 从 \(j\) 转移更优。

所以删除三元组 \((j,l,r)\)

然后加入 \((j,l,mid-1)\) 以及 \((i,mid,n)\)

第二种情况：\(dp[i][j]=min_{j<i}(dp[i-1][j]+w(j,i))\)

当前层只依赖于上一层的结果，那么可以分批处理。

对于第 \(i\) 层的 \(dp[l...r]\)，已知最优决策范围为 \([optL,optR]\)

取中点 \(mid\) ，那么暴力遍历 \([optL,optR]\) 可以找到 \(mid\) 的的最优决策点 \(optM\)。

那么 \(dp[l...mid]\) 的最优决策范围为 \([optL,optM]\) 。

\(dp[mid+1...r]\) 的最优决策范围为 \([optM+1,optR]\) 。

故可以分治递归处理。

这样总时间复杂度从 \(O(n^3)\) 优化到了 \(O(n^2log\,n)\)

第三种情况：\(dp[l][r]=min_{l\le k\le r}(dp[l][k]+dp[k+1][j])+w(i,j)\)

设 \(opt[l][r]\) 为区间 \([l,r]\) 的最优决策点。那么根据决策单调性，有 \(opt[l][r-1]\le opt[l][r]\le opt[l+1][r]\)

即：区间向左扩张，最优化决策点不会右移，当向右扩张时最优决策点不会左移。

那么据此我们就可以只枚举 \(k\in [opt[l][r-1],opt[l+1][r]]\)

时间复杂度分析：

固定长度 \(len = r-l+1\)，该长度下所有区间的枚举总量为：

\[S_{len} = \sum_{l=1}^{n-len+1} \Big( opt[l+1][l+len-1] - opt[l][l+len-2] + 1 \Big) \]

展开后中间项相互抵消，得到：

\[S_{len} = opt[n-len+2][n] - opt[1][len-1] + (n-len+1) \]

由于 \(opt\) 取值在合法范围内，有上界 \(n-1\) 和下界 \(1\)，所以：

\[S_{len} \le 2n - len - 1 = O(n) \]

总枚举次数：

\[\sum_{len=1}^{n} S_{len} \le \sum_{len=1}^{n} O(n) = O(n^2) \]

综上所述，整体复杂度降为 \(O(n^2)\)。