四边形不等式的归纳证明
设区间 DP 的定义为
\[dp[l][r] = \min_{l \le k < r} \{ dp[l][k] + dp[k + 1][r] + w(l, r) \},
\]
并规定 \(dp[i][i] = 0\)。设代价函数 \(w\) 满足：
- 四边形不等式：对任意 \(a \le b \le c \le d\)，
\[w(a, c) + w(b, d) \le w(a, d) + w(b, c).
\]
- 区间包含单调性：若 \([l, r] \subseteq [l', r']\)，则
\[w(l, r) \le w(l', r').
\]
我们要证明 \(dp\) 也满足四边形不等式：对任意 \(a \le b \le c \le d\)，
\[dp[a][c] + dp[b][d] \le dp[a][d] + dp[b][c].
\]
备注：区间 \([l,r]\) 的长度定义为 \(len([l,r])=r−l\)
归纳基础
当区间长度 \(r - l = 0\) 时，即 \(l = r\)，所有涉及的区间均为单点，\(dp[l][l] = 0\)，不等式两边相等。
当区间长度 \(r - l = 1\) 时，即区间只有两个元素，涉及到的四边形不等式中的区间最多含有两个元素，可直接通过计算验证成立。
更一般地，我们可以在归纳步骤中显式处理所有退化情形，从而不再单独讨论归纳基础。
归纳假设
假设对所有长度小于 \(d - a\) 的区间，四边形不等式成立。即对任意满足
\[a' \le b' \le c' \le d', \quad d' - a' < d - a
\]
的四个下标，均有
\[dp[a'][c'] + dp[b'][d'] \le dp[a'][d'] + dp[b'][c'].
\]
我们要证明对长度为 \(d - a\) 的目标区间 \([a, d]\)，结论成立。
退化情形的处理
若 \(a = b\) 或 \(c = d\)，则不等式两边相同，显然成立。
下面处理 \(b = c\) 的情形。此时要证明
\[dp[a][b] + dp[b][d] \le dp[a][d].
\]
设 \(x\) 为 \(dp[a][d]\) 的最优决策点，即
\[dp[a][d] = dp[a][x] + dp[x + 1][d] + w(a, d), \quad a \le x < d.
\]
分两种情况。
情形 1：\(x < b\)
因为 \(a \le x < b \le d\)，所以 \(x\) 是 \(dp[a][b]\) 的合法划分点，于是
\[dp[a][b] \le dp[a][x] + dp[x + 1][b] + w(a, b).
\]
由归纳假设，对
\[x + 1 \le b < b \le d
\]
且这些区间长度均小于 \(d - a\)，有
\[dp[x + 1][b] + dp[b][d] \le dp[x + 1][d] + dp[b][b].
\]
又因为 \(dp[b][b] = 0\)，故
\[dp[x + 1][b] + dp[b][d] \le dp[x + 1][d].
\]
于是
\[\begin{aligned}
dp[a][b] + dp[b][d] &\le dp[a][x] + dp[x + 1][b] + w(a, b) + dp[b][d] \\
&\le dp[a][x] + dp[x + 1][d] + w(a, b).
\end{aligned}
\]
由区间包含单调性，\([a, b] \subseteq [a, d]\)，所以
\[w(a, b) \le w(a, d).
\]
因此
\[\begin{aligned}
dp[a][b] + dp[b][d] &\le dp[a][x] + dp[x + 1][d] + w(a, d) \\
&= dp[a][d].
\end{aligned}
\]
情形 2：\(x \ge b\)
此时 \(b \le x < d\)，所以 \(x\) 是 \(dp[b][d]\) 的合法划分点：
\[dp[b][d] \le dp[b][x] + dp[x + 1][d] + w(b, d).
\]
由归纳假设，对
\[a \le b \le b \le x
\]
有
\[dp[a][b] + dp[b][x] \le dp[a][x] + dp[b][b].
\]
即
\[dp[a][b] + dp[b][x] \le dp[a][x].
\]
于是
\[\begin{aligned}
dp[a][b] + dp[b][d] &\le dp[a][b] + dp[b][x] + dp[x + 1][d] + w(b, d) \\
&\le dp[a][x] + dp[x + 1][d] + w(b, d).
\end{aligned}
\]
又由区间包含单调性，\([b, d] \subseteq [a, d]\)，所以
\[w(b, d) \le w(a, d).
\]
因此
\[\begin{aligned}
dp[a][b] + dp[b][d] &\le dp[a][x] + dp[x + 1][d] + w(a, d) \\
&= dp[a][d].
\end{aligned}
\]
故退化情形 \(b = c\) 证毕。
非退化情形
现在设
\[a < b < c < d.
\]
令 \(x\) 为 \(dp[a][d]\) 的最优决策点，\(y\) 为 \(dp[b][c]\) 的最优决策点：
\[dp[a][d] = dp[a][x] + dp[x + 1][d] + w(a, d), \quad a \le x < d,
\]
\[dp[b][c] = dp[b][y] + dp[y + 1][c] + w(b, c), \quad b \le y < c.
\]
分 \(x \le y\) 与 \(x > y\) 两种情况讨论。
情况 1：\(x \le y\)
此时有
\[a \le x \le y < c \le d.
\]
因此 \(x\) 是 \(dp[a][c]\) 的合法划分点，\(y\) 是 \(dp[b][d]\) 的合法划分点：
\[dp[a][c] \le dp[a][x] + dp[x + 1][c] + w(a, c),
\]
\[dp[b][d] \le dp[b][y] + dp[y + 1][d] + w(b, d).
\]
两式相加：
\[dp[a][c] + dp[b][d] \le dp[a][x] + dp[x + 1][c] + dp[b][y] + dp[y + 1][d] + w(a, c) + w(b, d).
\]
又因为
\[\begin{aligned}
dp[a][d] + dp[b][c] &= dp[a][x] + dp[x + 1][d] + dp[b][y] + dp[y + 1][c] \\
&\quad + w(a, d) + w(b, c),
\end{aligned}
\]
所以只需证明
\[\begin{aligned}
dp[x + 1][c] + dp[y + 1][d] &+ w(a, c) + w(b, d) \\
&\le dp[x + 1][d] + dp[y + 1][c] + w(a, d) + w(b, c).
\end{aligned}
\]
由归纳假设，对
\[x + 1 \le y + 1 \le c \le d
\]
有
\[dp[x + 1][c] + dp[y + 1][d] \le dp[x + 1][d] + dp[y + 1][c].
\]
由 \(w\) 的四边形不等式，对
\[a \le b \le c \le d
\]
有
\[w(a, c) + w(b, d) \le w(a, d) + w(b, c).
\]
两式相加，即得所需不等式。
因此情况 1 成立。
情况 2：\(x > y\)
此时
\[a < b < y < x < c < d.
\]
因此 \(y\) 是 \(dp[a][c]\) 的合法划分点，\(x\) 是 \(dp[b][d]\) 的合法划分点：
\[dp[a][c] \le dp[a][y] + dp[y + 1][c] + w(a, c),
\]
\[dp[b][d] \le dp[b][x] + dp[x + 1][d] + w(b, d).
\]
相加得
\[dp[a][c] + dp[b][d] \le dp[a][y] + dp[y + 1][c] + dp[b][x] + dp[x + 1][d] + w(a, c) + w(b, d).
\]
同时
\[\begin{aligned}
dp[a][d] + dp[b][c] &= dp[a][x] + dp[x + 1][d] + dp[b][y] + dp[y + 1][c] \\
&\quad + w(a, d) + w(b, c).
\end{aligned}
\]
因此只需证明
\[dp[a][y] + dp[b][x] + w(a, c) + w(b, d) \le dp[a][x] + dp[b][y] + w(a, d) + w(b, c).
\]
由归纳假设，对
\[a \le b \le y \le x
\]
有
\[dp[a][y] + dp[b][x] \le dp[a][x] + dp[b][y].
\]
再由 \(w\) 的四边形不等式，对
\[a \le b \le c \le d
\]
有
\[w(a, c) + w(b, d) \le w(a, d) + w(b, c).
\]
两式相加即得所需结论。
因此情况 2 也成立。
结论
综合退化情形与非退化情形，由数学归纳法可知，对任意 \(a \le b \le c \le d\)，均有
\[dp[a][c] + dp[b][d] \le dp[a][d] + dp[b][c].
\]
即区间 DP 的值函数 \(dp\) 满足四边形不等式。
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