扩军后世界杯赛制设计背后的数学问题

扩军后世界杯赛制设计背后的数学问题

2026 年美加墨世界杯有一个重要变化：参赛球队从 32 支扩充到 48 支。这意味着更多国家能够进入世界杯，更多球员有机会站上最高舞台，比赛场次也会显著增加。从表面看，这似乎是足球全球化发展的自然结果：既然足球属于全世界，世界杯当然也应该让更多地区参与进来。

但从赛制设计的角度看，扩军并不是简单地“多加一些球队”。球队变多以后，小组怎么分？晋级名额怎么定？强队会不会太容易出线？小组赛最后一轮会不会出现大量“无关紧要”的比赛？这些问题都会影响世界杯的公平性和观赏性。

László Csató 和 András Gyimesi 在论文 Increasing competitiveness by imbalanced groups: The example of the 48-team FIFA World Cup 中，专门讨论了 48 队世界杯的赛制设计问题 [1]。这篇文章的核心观点可以概括为：

看似平均的赛制，不一定最公平；
看似不平均的赛制，反而可能更有竞争性。

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1. 2026 世界杯扩军到 48 队

2026 年世界杯是第一届 48 队世界杯。FIFA 最初曾设想采用 16 个小组、每组 3 队的赛制。但这种方案很快受到质疑。

原因并不复杂。3 队小组中，总有一支球队会提前踢完全部小组赛。最后一场比赛的两支球队会清楚知道前面比赛的结果，于是某些特定比分可能同时对双方有利，而已经完赛的第三支球队只能被动等待。这就容易带来“默契球”或策略性比赛的问题。

因此，FIFA 后来修改了方案，最终采用现在的官方赛制：

• 48 支球队；
• 12 个小组；
• 每组 4 队；
• 每组前 2 名直接晋级；
• 8 个成绩最好的小组第 3 也晋级；
• 淘汰赛从 32 强开始。

这样的话，每支球队至少踢 3 场，小组赛最后一轮可以同时开球，3 队小组带来的“默契球”风险大幅降低。

不过，论文指出，官方赛制仍然有一个核心问题：晋级比例太高。48 支球队中，有 32 支球队能够进入淘汰赛。也就是说，小组赛阶段有三分之二的球队可以出线。这样一来，强队在小组赛中更容易提前锁定晋级资格。对顶级强队来说，小组赛最后一轮很可能已经没有太大意义。它们可能轮换主力、保存体能，甚至对比赛结果不再特别敏感。

这就是论文重点讨论的 stakeless match 问题。

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2. 什么是“无关比赛”（stakeless match）？

很多人讨论世界杯赛制时，首先想到的是“默契球”。但这篇文章强调，默契球并不是唯一的问题。还有一种情况同样会影响赛事公平：一支球队已经提前出线，或者已经提前出局，那么它最后一场比赛无论输赢，都不会改变自己的命运。此时，它自然可能缺乏全力比赛的动力。这种比赛就被称为 stakeless match，可以译为“无关比赛”或“无实际利害关系的比赛”。

论文中的定义大致是：

如果一场比赛的结果已经不影响某支球队是否晋级、是否出局，或者是否达到某个阶段目标，那么这场比赛对该球队来说就是 stakeless match。

更具体地说，设球队 \(i\) 在某场比赛前面对胜、平、负等可能结果。若无论该场比赛结果如何，球队 \(i\) 的目标状态都不发生改变，那么这场比赛对球队 \(i\) 来说就是无关比赛。可以用一个简单指标表示：

\[S_i= \begin{cases} 1, & \text{如果比赛结果不影响球队 } i \text{ 的晋级目标},\\ 0, & \text{否则}. \end{cases}\]

这里 \(S_i=1\) 表示球队 \(i\) 面临一场无关比赛。

需要注意的是，无关比赛不等于“故意输球”，也不等于作弊。它更像是一个激励问题：当比赛结果对自己已经不重要时，球队自然可能降低投入程度。

现实中，这类情形并不少见。论文举了 2022 年世界杯法国队的例子。法国队小组前两轮已经提前出线，最后一轮对阵突尼斯时，主教练大幅轮换阵容，最终法国队输给突尼斯。对法国来说，这场比赛的结果并不影响其晋级；但对同组其他球队来说，法国是否全力比赛却可能影响整个小组的竞争公平性。

这正是无关比赛的麻烦之处： 它看似只关系到某一支球队，实际上却可能改变其他球队的命运。

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3. 为什么强队提前出线会影响公平？

如果一支弱队提前出局，最后一场比赛没有晋级希望，它未必就会放弃。对弱队来说，世界杯的每一场比赛都是展示机会。球员可能还要争取荣誉、奖金、国家队位置，甚至未来的转会机会。

但强队提前出线时，情况往往不同。强队的阵容更深，目标也更长远。它们真正关注的不是小组赛最后一轮，而是淘汰赛。因此，一旦提前锁定出线，强队很自然会考虑：

• 让主力休息，避免伤病；
• 避免黄牌累积；
• 给替补球员出场机会；
• 为淘汰赛保存体能。

从教练角度看，这种选择完全理性。但从赛事公平角度看，它会影响同组其他球队。

论文特别强调，并不是所有无关比赛的“成本”都一样。如果一支本来就较弱的球队没有动力比赛，它即使全力以赴，也未必有很高概率赢球。因此，它降低投入对整体结果的影响可能相对有限。反过来，如果一支强队本来有很高概率赢球，但因为提前出线而轮换阵容、降低强度，那么它输球或打平的概率上升，就可能显著影响小组内其他球队的晋级形势。

因此，作者提出：无关比赛应该根据球队实力进行加权。论文使用 Elo 评分衡量球队实力。设球队 \(i\) 和球队 \(j\) 的 Elo 分别为 \(E_i\) 和 \(E_j\)，则球队 \(i\) 战胜球队 \(j\) 的胜率期望可以写成：

\[W_{ij}=\frac{1}{1+10^{-(E_i-E_j)/400}}. \]

这个公式的含义很直观：如果球队 \(i\) 的 Elo 明显高于球队 \(j\)，那么 \(W_{ij}\) 接近 1；如果两队实力接近，\(W_{ij}\) 接近 \(1/2\)；如果球队 \(i\) 明显弱于球队 \(j\)，那么 \(W_{ij}\) 接近 0。

作者据此定义加权无关比赛指标：

\[S_i^W=S_i\cdot W_{ij}. \]

这里 \(S_i\) 表示球队 \(i\) 是否处于无关比赛状态，\(W_{ij}\) 表示如果球队 \(i\) 正常比赛，它本来有多大概率战胜对手。论文中比较了两个例子：

• 法国队已经提前出线，对突尼斯的胜率期望为 \(88.35\%\)；
• 加拿大队已经提前出局，对摩洛哥的胜率期望为 \(33.51\%\)。

两场比赛都可以看成某种意义上的无关比赛，但前者的影响明显更大。因为法国如果认真踢，本来更可能赢；一旦它因为提前出线而轮换阵容，对小组其他球队的影响也更明显。

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4. 官方赛制为什么容易产生无关比赛？

2026 年官方赛制容易产生无关比赛，主要有两个原因。

第一，参赛球队变多以后，整体实力差距会扩大。扩军意味着更多实力相对较弱的球队进入世界杯。强队在小组赛中遇到弱队的概率增加，提前拿到足够积分的概率也随之上升。

第二，晋级比例过高。48 支球队中有 32 支晋级，这意味着小组第三也有较大机会进入淘汰赛。对于强队来说，即使第一场输球，也未必会带来严重后果；如果前两轮已经拿到不错的成绩，最后一轮就可能不再关键。

论文的模拟结果也印证了这一点。在官方赛制下，已经提前出线的球队踢无关比赛的概率并不低。对于最强球队，这种现象尤其明显。

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5. 论文提出的方案：不平衡分组

为了解决这个问题，论文提出了一种有些反直觉的赛制：不平衡分组。通常我们会认为，小组赛应该尽量平衡。每个小组都有强队、中等球队和弱队，大家看起来机会差不多。但作者认为，48 队世界杯未必适合这种平均分配方式。

论文建议把 48 支球队分成两类小组：

• Tier 1 小组：8 个小组，由相对更强的球队组成；
• Tier 2 小组：4 个小组，由相对更弱的球队组成。

也就是说，它有意制造“不平衡小组”：强队更多地和强队交手，弱队更多地和实力接近的球队交手。具体晋级方式是：

• Tier 1 小组第一直接进入 16 强；
• Tier 1 小组第二进入附加赛；
• Tier 2 小组前两名进入附加赛；
• 附加赛胜者再进入 16 强；
• 从 16 强开始进入常规淘汰赛。

这个设计的核心思想是：

让强队在小组赛阶段就面对更强对手，减少它们提前失去比赛动力的机会。

在不平衡分组中，强队之间更容易直接竞争。即使它们实力更强，也不能轻易把小组赛当成热身赛。

这听起来有些反直觉。因为“不平衡分组”似乎意味着不公平：为什么强队要和强队分在一起，弱队要和弱队分在一起？但论文的视角并不是看每个小组形式上是否平均，而是看整个赛事是否更有竞争性，是否更少出现无关比赛，是否让比赛结果更能反映球队的真实投入。

换句话说：

平均分组追求的是形式上的均衡；
不平衡分组追求的是激励上的有效。

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6. 不平衡分组为什么可能提高竞争性？

论文认为，不平衡分组至少有三个潜在好处。

1. 强队更难“躺着出线”

不平衡分组把强队集中到 Tier 1 小组，使强队面对更强对手。这样一来，强队提前锁定目标的概率下降，小组赛竞争强度上升。论文模拟显示，不平衡赛制显著降低了 16 支最强球队出现无关比赛的概率。尤其是已经提前出线的强队，在官方赛制下更容易失去比赛动力，而不平衡赛制能够明显缓解这一点。

2. 弱队比赛也可能更有意义

不平衡分组把较弱球队放到 Tier 2 小组，使它们面对更接近自身水平的对手。这样不仅能减少实力悬殊的比赛，也让弱队更有机会争夺附加赛名额。这并不是说弱队更容易夺冠，而是说它们在小组赛中可以获得更真实、更接近的竞争环境。

3. 比赛场次更少，强队负担更低

按照论文的模拟口径，不计三四名决赛，官方 48 队赛制需要模拟 103 场比赛，而不平衡分组赛制为 95 场。也就是说，不平衡赛制可以减少一部分比赛。这对顶级球员很重要。世界杯通常安排在俱乐部赛季之后，强队核心球员往往已经经历了漫长赛季。如果赛制可以减少强队不必要的比赛负担，同时提高关键比赛质量，对赛事本身也是有利的。

论文模拟发现，不平衡赛制下，最强球队的平均比赛数量明显下降，尤其能够减少顶级球员的额外消耗。

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7. 论文如何比较两种赛制？

这篇文章用模拟方法比较官方赛制和不平衡分组赛制。作者使用 Elo 评分衡量球队实力，并用泊松模型模拟比赛进球数。简单来说，一场比赛中每支球队的进球数被看作随机变量，其分布近似服从泊松分布：

\[P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}. \]

这里 \(X\) 表示某队进球数，\(\lambda\) 表示期望进球数。\(\lambda\) 又由两队实力差、主场因素等决定。通过这种方式，作者可以大量模拟世界杯可能发生的结果。论文对两种赛制分别进行了 100 万次模拟，然后比较多个指标，包括：

• 平均 Elo 差距；
• 无关比赛概率；
• 加权无关比赛概率；
• 强队平均比赛数量；
• 小组赛和淘汰赛的比赛不确定性；
• 强队之间相遇的比例；
• 是否存在故意降低排名以进入弱组的激励。

其中，最关键的结果是：不平衡分组赛制在减少强队无关比赛方面表现更好。

论文表 3 给出了一些总体指标。比如，在“已经提前出线的球队是否会遇到无关比赛”这一指标上，官方赛制的平均值明显高于不平衡赛制。对于加权无关比赛指标，不平衡赛制也优于官方赛制的多数情形。这说明，不平衡赛制并不是简单地让比赛“看起来更刺激”，而是在激励结构上减少了无关比赛。

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8. 不平衡分组的问题

不平衡分组最大的潜在问题是：它会不会产生新的策略性行为？如果球队知道某些较弱组更容易出线，那么边界球队会不会故意降低排名，以便进入较弱小组？这在赛事设计中叫做 激励相容性 问题。

一个好的赛制应该尽量满足：

球队越强，处境不应该反而越差；
球队不应该因为故意变弱而获得更大收益。

论文也专门检查了这一点。作者比较了某些球队如果被放入另一个档次，是否会提高进入 16 强的概率。模拟结果显示，最强的 16 支球队并没有故意降低档次的动机。对于少数边界球队，确实可能存在小幅收益，但收益通常低于 3 个百分点。因此，作者认为这种风险存在，但不至于推翻不平衡赛制的主要优势。

所以更谨慎的结论是：不平衡分组不是完美方案，但它提供了一种值得认真考虑的赛制设计思路。

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9. 总结

这篇文章讨论的是世界杯，但背后其实是一个更一般的数学问题：

赛事规则应该如何设计，才能让参与者始终有动力认真比赛？

传统观念中，我们常常认为公平就意味着“平均”：每个小组结构一样，每组都有强队、中等队和弱队，每个队都踢相同数量的小组赛。但这篇文章提醒我们，形式上的平均不一定带来实质上的公平。看似平均的小组，可能让强队太容易提前出线；看似不平均的分组，反而可能让比赛更有竞争性。

如果只从表面看，官方赛制整齐、清楚、容易理解。但从数学和运筹优化的角度看，赛制不能只追求整齐。它还要考虑：

• 球队是否始终有动力比赛；
• 强队是否太容易提前出线；
• 弱队是否过早失去竞争机会；
• 小组赛最后一轮是否仍然重要；
• 比赛结果是否会影响其他球队的公平处境。

世界杯是足球比赛，但世界杯赛制本身也是一个数学问题。球员决定一场比赛的胜负，而赛制决定这些胜负是否真正重要。

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参考文献

[1] Csató, L., Gyimesi, A. Increasing competitiveness by imbalanced groups: The example of the 48-team FIFA World Cup. arXiv:2502.08565, 2025.

[2] Guyon, J. Risk of collusion: Will groups of 3 ruin the FIFA World Cup? Journal of Sports Analytics, 2020.

[3] Chater, M., Arrondel, L., Gayant, J.-P., Laslier, J.-F. Fixing match-fixing: Optimal schedules to promote competitiveness. European Journal of Operational Research, 2021.

[4] Csató, L., Molontay, R., Pintér, J. Tournament schedules and incentives in a double round-robin tournament with four teams. International Transactions in Operational Research, 2024.

[5] Football rankings. Simulation of scheduled football matches. 2020.

[6] FIFA. FIFA Council approves international match calendars. 2023.