随笔分类 - 题解
摘要：题意：给定一棵$n$个点的树，一条蛇在路径$(h,t)$ 上（$h \neq t$），蛇类似火车移动，问蛇能否走到路径$(t,h)$ ，需线性或接近线性做法。思路：合法枢纽（关键点）指存在三条长度大于等于蛇长岔路的点。先证明若直径上无关键点则整棵树无关键点，若蛇能到达一个关键点就能到达任意关键点。先求树的直径，找到直径上关键点$u$ ，若蛇一端能在$u$ 上则有解。以$u$ 为根，若$h,t$ 是祖孙关系蛇可到根；否则求$h,t$ 的LCA ，在变成祖孙关系前LCA不变，蛇来回走向最远叶子，若走到同一位置则无解，直接模拟，总时间复杂度线性 。
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摘要：思路：考虑DP，对于每一位存在关键操作，操作后该位不再变化，之前该位状态无关紧要。设$f_S$表示集合$S$的位未固定，不在$S$的位已固定且与$y$相同的最小花费。预处理$g_S$，即集合$S$上与$y$相同的AND操作的最小费用，通过高位前缀和求解（因取$\min$无需容斥），OR操作同理。转移时枚举$S$补集的子集$T$，对AND操作，要求$y$在$T$位置均为$0$，可选AND操作在$T$位置为$0$且在$S$中为$1$的位置为$1$；OR操作类似。时间复杂度$O(2^k k + 3^k)$ 。
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摘要：题意：A和B玩游戏，给定长度为$n$（$n \leq 10^5$）的序列，A先手。每轮先手选一切割点将序列分成两份，后手选留其中一份，然后交换先后手，游戏至剩一个数字结束，A希望数字尽可能大，B希望尽可能小，求最终剩下的数字。思路：除A先手外条件公平，猜测留下数字为中位数（偶数长序列认为有两个中位数）。通过给比中位数大的数字赋权值`+1`，其他`-1`，证明无论谁先手都取不到比中位数大的数字。对于偶数长且两中位数不等的情况，给$\geq$较大中位数的数字赋权值`1`，其他`-1`，分析原序列能分成极小权值和为`0`的序列个数$cnt$，$cnt$为奇数时先手输，偶数时先手赢，用`nth_element()`函数平均$O(n)$求解 。
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摘要：题意：给定包含 `a,b,c` 的字符串，长度 $n \leq 2 \times 10^5$，求所有区间权值和，区间权值为出现次数最多字母的个数减去出现次数最少字母的个数（出现次数不为0）。思路：先统一式子，包含3种字母区间 $val_{l,r} = \frac{|c_a - c_b| + |c_b - c_c| + |c_c - c_a|}2$ ，包含2种字母区间 $val_{l,r} = |c_a - c_b|$ ，1种字母区间无贡献。为简化维护，贡献乘2去分母，枚举两个字母 $A,B$ ，对于含 $A,B$ 区间算 $2|c_A - c_B|$ ，含三种字母区间减多余贡献算 $-|c_A - c_B|$ 。枚举区间右端点 $r$ ，用 $cnt_x$ 存差值为 $x$ 的区间个数及偏移量 $tag$ 从 $r - 1$ 转移，时间复杂度为线性 。
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摘要：题意：给定一棵\(n\)个点的树和\(m\)个链\((u, v)\) ，需选出\(k\)个链，使得存在一个点\(x\)在这\(k\)个链中都出现，一个方案的代价是选中最长链长度减去最短链长度，求最小代价，其中\(n \le 5 \times 10^4\)，\(k \le m \le 10^4\)。思路：先对树进行DFS预处理深度和父节点。将链按长度排序，用bitset存每个链包含的点，维护每个点在当前双指针区间\([l, r]\)内出现次数。遍历排序后的链，双指针移动，左指针\(l\)固定时找最小的\(r\)使\([l, r]\)内存在一个点出现\(k\)次（即存在合法方案），此时代价为\(len_r - len_l\) ，不断更新最小代价，时间复杂度\(O(nm)\) ，bitset主要用于优化空间 。
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摘要：题意：给定初始无边的\(n\)个点无向图及\(q\)个操作，包括连边（边权\(w\)，\(0 \leq w \leq 10\)）、删边和查询两点间权值最大值最小的路径权值，\(n,q \leq 10^5\)且保证无重边。思路：
- **线段树分治 + 可撤销并查集**：因\(w\)小，建\(11\)个图，分别包含\(w \leq k(k \in [0,10])\)的边。对操作按时间排序后在时间轴上分治，用可撤销并查集维护区间有效边。每条边有效区间在线段树上用\(\log\)个节点表示，分治到节点时加入或撤销边。非叶子区间先加边，递归处理左右子区间，再撤销边；叶子区间若为查询则判断两点是否连通，时间复杂度\(O(Vq\log^2q)\) 。
- **LCT做法**：先离线预处理边的删除时刻，用LCT维护每个图的生成树及删边操作。添加边时，若两点已连通且新边删除时刻晚，贪心地找出两点路径上删除时间最早的边判断是否替换，复杂度\(O(Vq \log q)\) 。
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摘要：思路：若区间包含的\(a_i\)完整，最小众数为\(1\)；若\(a_l\)只有后缀\([x,a_l]\)且\(a_r\)只有前缀\([1,y]\)，当且仅当\(\forall i \in [l,r], a_i \ge x\)时最小众数是\(x\)，否则为\(1\)。为方便求解，先求出所有最小众数为\(x(x>1)\)的子区间并贡献\(x - 1\)，再让所有子区间统一贡献\(1\)。利用小根笛卡尔树，对于笛卡尔树上节点\(u\)，在其左右子树分别取\(l\)、\(r\)计算贡献。左端点有\(siz_{ls} +1\)种取法，右端点有\((sum_{rs}+a_u) - (x - 1)(siz_{rs}+1)\)种取法，每个方案贡献\(x - 1\) ，经化简可得\(u\)子树总贡献为\((siz_{ls}+1) ((sum_{rs}+a_u)\frac{a_u(a_u - 1)}{2} - (siz_{rs}+1) \frac{(a_u - 1)a_u(2a_u - 1)}{6})\) ，该问题可线性求解，单\(\log\)做法能简化代码 。
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