随笔分类 - 笔记 / 数学
摘要：概述 最小割在实质上是一种很...精妙的模型，与状压中的依赖式问题一样，都在一定程度上反映着决策之间的矛盾。 每一条从 $S$ 到 $T$ 的路径，其上的边都满足某种矛盾关系，必有一条边删掉。 根据对应边是实际边（即希望参与删除的）还是结构边（即为构成路径而添加的虚边或不许删的边，不希望参与删除），
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摘要：概述 最短路算法主要研究图上两点之间的最短路径问题。 事实上，许多问题都能转化为图来求解（图的本质就是点和边的集合，点是元素，边是元素之间的二元关系）。 所以最短路算法并不局限于“给出一张图，...”。 Floyd il void floyd(){ for(int k=1;k<=n;++k) for
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摘要：竞赛图 姑且先挂载在这里。 性质 1：竞赛图缩点所得必为一条链，链上的重构点称为 Tier，Tier 1 是拓扑序最高的。 性质 2：出度最大的点必然在 Tier 1 中。 将所有点分为三类，第一类是出度最大的某个点 $u$，第二类是被 $k$ 直接指向的点，第三类是剩余的点。 不妨设存在点 $v$
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摘要：概述 自动机是一种对信号序列进行判定的数学模型。 信号序列：一串有序的信号，例如字符串。 判定：指输出为 $0/1$（在输入的信号序列可识别的前提下）。在 OI 中的自动机一般是广义的，即输出是任意的，具体来讲可能是在合法时输出对应方案的权值之类。 一般来讲，自动机可以抽象为一个有向图，点为状态，边
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摘要：概述 LCA（least common ancestor），最近公共祖先的英文缩写。 顾名思义，LCA 就是树上两个点最近的公共祖先，或者说两个点共同在的极小子树的根。 树上差分则是利用树本身的结合性（显然树不满足差分性，是点到根的链满足差分性）与 LCA 结合做的操作，譬如给某个路径上所有点 $+
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摘要：概述 长链剖分通过把树剖成尽量长的多个链，高效地解决...我也不知道解决啥（长剖优化 DP 的东西在 DP 优化那边）。 毕竟这个东西，不具备启发式分裂的复杂度。不过其还是有一点性质的，有时候确实会用到... 恰如轻重剖是按 $siz$ 选重儿子，长剖是按 $dep$（这里指当前子树的最大深度）来选
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摘要：概述 轻重链剖分通过将树剖分为若干条重链和它们之间相连的轻边，将树上路径问题转化成序列问题。 具体来讲，有很多树上路径问题本质上是把序列上的问题搬到了树上，此时我们可以进行轻重链剖分（后简记为轻重剖或重剖），将树上路径拆分为多条重链头尾相接，并通过能快速维护重链信息的数据结构来求解。 重剖方式如下：
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摘要：约定 如无特别说明，本文中的 $n,m$ 分别为左右部点数，且总有 $n\leqslant m$。边集记为 $E$，边数记为 $e$。 定义 二分图是如下的一张图： 可以将 $V$ 划分为 $V_1,V_2$ 使得 $V_1,V_2$ 内部没有边。由此，二分图可以记为 $G={V_1,E,V_2}$
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摘要：概述 博弈论研究的主要是具有竞争或对抗性质的对象，在一定规则下产生的各种行为。 在 OI 中，其的表现主要是两个足够聪明的人（即总是做出最优决策）按某种规则进行一个游戏，对不同的初始局面研究胜负情况。 通常我们使用以下两个维度来划分游戏：公平/非公平，正常/反常。但我们先不讨论它们的区别，我们在定义
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摘要：素数与同余 素数个数定理 记 $\leqslant x$ 的素数个数为 $\pi(x)$，则有 $\pi(x)\sim\dfrac{x}{\ln x}$。 不会证。微积分？ 数列 Fibonacci 数列 $$\gcd(F_n,F_m)=F_{\gcd(n,m)}$$ 证明如下： 定理 $1$：$\
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摘要：概率 概述 概率即随机事件出现的可能性大小。 性质 概率满足贝叶斯公式，但这和 OI 没啥关系。 对于相互独立的事件，概率满足加法原理和乘法原理。 这里的加法原理指求多个事件至少发生一个的概率，乘法原理指某些事件同时发生的概率。 对于独立事件，可以表示为：$P(B\mid A)=P(A),P(A\t
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摘要：卡特兰数 卡特兰数解决的是形如步步合法的方案数问题。具体地，第 \(n\) 个卡特兰数 \(H_n\) 对应着长为 \(2n\) 的合法括号序列的方案数，或者从 \((0,0)\) 走到 \((n,n)\) 而一直在 \(l:y=x\) 下方（包含）的方案数，或者由 \(1,-1\) 组成的，长为
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摘要：概述 容斥原理是正难则反思想的实践产物。（23.1.15 upd：存疑） 即，在正向求解问题过于困难时，考虑逆向求出不合法方案数，然后用总方案数减去以得到合法方案数。 大体上，可以分为以下两类： 子集容斥 一般的容斥原理指的就是子集容斥。其是如下的一种容斥： 不妨称“合法”为满足 \(k\) 个条件
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摘要：BSGS（大步小步法） BSGS 可以在 $O(\sqrt{p})$ 的时间内求解满足 $a^x\equiv b\pmod p$ 的 $x$，其中 $a\perp p,x>0$。 实现原理： 尝试进行和整除分块异曲同工的变换。$a^x\equiv b\Leftrightarrow a^{k\time
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摘要：扩展欧拉定理 $$ a^b\equiv \begin{cases} a^{b \bmod \varphi(m)} & (a,m)=1\ a^b & (a,m)\neq 1,b<\varphi(m)\ a^{b\bmod\varphi(m)+\varphi(m)} & (a,m)\neq 1,,b\g
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摘要：定义 群是由一个集合 $G$ 和一个作用于 $G$ 上元素的运算 $\ast$ 所组成的，满足如下性质的代数结构（有时会略去封闭性）： 封闭性：$\forall a,b\in G,a\ast b\in G$。 结合律：$\forall a,b,c\in G,(a\ast b)\ast c=a\ast
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摘要：运算律 与或异或分别满足交换律和结合律，但有两种同时出现时好像就都不满足了。 异或 异或的逆运算是它本身（参看各种解怪题选择性报告中树上异或路径）。 从这一性质出发，可以有一个推论：如果只考虑异或路径长度，那么图上的许多边是等价的。 譬如异或边生成树问题，使用类 Kruskal 算法（这里指逐渐加边
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摘要：概述 树分治通过树的唯一连通性质，递归地求解树上路径（主要是路径长度）相关的问题。 树分治主要包括点分治和边分治。我只会点分治。 点分治 点分治通过选取点作为分割来求解树上路径问题。 较具体地说，如果我们选定一个关键点 $key$ 来分割当前处理的（子）树，那么路径可以分为以下两种： 过 $key$
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摘要：概述 筛法原本是筛取质数的一种算法。在 OI 中，它被推广到了筛积性函数值。 埃氏筛 枚举每个质数，筛去它们的整数倍。 复杂度为 \(O(n\log\log n)\)，证明非常困难，我们从心一下。 埃氏筛有很多 trick，例如只取 \(\leqslant \sqrt{n}\) 的质数来筛，分块筛（
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