卡特兰数,斯特林数与贝尔数
卡特兰数
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卡特兰数解决的是形如步步合法的方案数问题。具体地,第 \(n\) 个卡特兰数 \(H_n\) 对应着长为 \(2n\) 的合法括号序列的方案数,或者从 \((0,0)\) 走到 \((n,n)\) 而一直在 \(l:y=x\) 下方(包含)的方案数,或者由 \(1,-1\) 组成的,长为 \(2n\) 的任意前缀和非负的序列的方案数。可以想见,这些实际意义是等价的。
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\[H_n=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1} \]
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证明:这里以前缀和非负为例来证明。设法减去不合法方案:对任何不合法方案,记首个前缀和为负的地方为 \(i\),从 \(i+1\) 开始反转后缀序列。容易注意到,这样反转时,被反转的序列中 \(1\) 恰比 \(-1\) 多一个;且这个反转和原来的不合法方案构成一一映射。于是,任何不合法方案都和 \(n-1\) 个 \(1\),\(n+1\) 个 \(-1\) 的方案构成一一映射,即得上式中第二种表述。
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推广:考虑譬如钦定首个数字为 \(1\) 的情况,考虑方案数。此时总方案为 \(\binom{2n-1}{n-1}\),效仿既有方式考虑枚举首个前缀和为负的 \(i\),对后续反转。显然我们得到 \(H^{'}_n=\binom{2n-1}{n-1}-\binom{2n-1}{n-2}\)。