卡特兰数，斯特林数与贝尔数

卡特兰数

• 卡特兰数解决的是形如步步合法的方案数问题。具体地，第 \(n\) 个卡特兰数 \(H_n\) 对应着长为 \(2n\) 的合法括号序列的方案数，或者从 \((0,0)\) 走到 \((n,n)\) 而一直在 \(l:y=x\) 下方（包含）的方案数，或者由 \(1,-1\) 组成的，长为 \(2n\) 的任意前缀和非负的序列的方案数。可以想见，这些实际意义是等价的。

• \[H_n=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1} \]

• 证明：这里以前缀和非负为例来证明。设法减去不合法方案：对任何不合法方案，记首个前缀和为负的地方为 \(i\)，从 \(i+1\) 开始反转后缀序列。容易注意到，这样反转时，被反转的序列中 \(1\) 恰比 \(-1\) 多一个；且这个反转和原来的不合法方案构成一一映射。于是，任何不合法方案都和 \(n-1\) 个 \(1\)，\(n+1\) 个 \(-1\) 的方案构成一一映射，即得上式中第二种表述。

• 推广：考虑譬如钦定首个数字为 \(1\) 的情况，考虑方案数。此时总方案为 \(\binom{2n-1}{n-1}\)，效仿既有方式考虑枚举首个前缀和为负的 \(i\)，对后续反转。显然我们得到 \(H^{'}_n=\binom{2n-1}{n-1}-\binom{2n-1}{n-2}\)。