随笔分类 - 笔记
摘要：概述 线段树分裂这里暂时没有。 线段树合并是指将管辖范围相同的两棵线段树对位（节点意义下）合并。 线段树合并 线段树合并支持各种统计子树的操作。 详细来讲就是，考虑某个题目给出一棵树（相对于普通线段树题目的数组而言，这里是每个树上点都对应着一个数组，不过父子之间数组差异往往较小），然后要询问某些子树
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摘要：概述 最小割在实质上是一种很...精妙的模型，与状压中的依赖式问题一样，都在一定程度上反映着决策之间的矛盾。 每一条从 $S$ 到 $T$ 的路径，其上的边都满足某种矛盾关系，必有一条边删掉。 根据对应边是实际边（即希望参与删除的）还是结构边（即为构成路径而添加的虚边或不许删的边，不希望参与删除），
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摘要：虚树 概述 虚树，即将树的一系列关键点及其 $lca$ 取出得到的一棵反映这些点在原树上的关系的树。 容易证明，维护一个按 $dfn$ 升序排序的优先队列，不断从队头取出两个元素求 $lca$ 后放回直到队列中只剩一个元素，所得的所有点就是虚树的所有点。显然，这代表着虚树的点数是 $\leqslan
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摘要：概述 单调栈，顾名思义，是元素满足单调性的栈。其主要用于预处理各种和偏序有关的信息。 特别地，我们将悬线法视为单调栈的一个变形，也在这里谈及。 所有二维平面问题采用 OI 坐标系。 实现原理 在准备加入元素时，将栈顶元素弹出直到加入后仍然满足单调性。 例题 P5788 【模板】单调栈/P1901 发
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摘要：概述 最短路算法主要研究图上两点之间的最短路径问题。 事实上，许多问题都能转化为图来求解（图的本质就是点和边的集合，点是元素，边是元素之间的二元关系）。 所以最短路算法并不局限于“给出一张图，...”。 Floyd il void floyd(){ for(int k=1;k<=n;++k) for
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摘要：概述 李超线段树是真正用于维护“线段”的线段树。 具体来说，李超线段树主要用于维护平面上线段（表现为给出定义域的一次函数）信息，通常为某处的最大/小值等。 实现原理 不妨以加线段，查询 $l:x=k$ 与所有线段的交点的最大纵坐标为例。 众所周知，区间加等差数列，区间求和是容易的。然而区间取 $\m
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摘要：钦定顺序特别重要，这不仅关乎到可能的去重，也关乎到简化问题。当然，错误的顺序可能会使问题更复杂（来自图上状压计数）。 如果觉得题目无从下手，考虑 DP（来自蜜蜂搬家）。尝试着设计一个不管有多复杂的 DP 状态，然后一点一点把握题目中各个要素的关系，找到转移的途径；考虑尽量简洁地描述题目要素之间的关系
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摘要：概述 线段树优化通过线段树能快速区间取值和区间修改的特性，高效实现具有连续性的 dp 转移。 所谓的连续性可以是顺推的转移目标点为连续区间，也可以是逆推的转移出发点为连续区间，这一连续不一定必须是原数组下标这一维度上的。 效果一般为将 KD1D 的 dp 的 $O(n)$ 的转移优化至 $O(\lo
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摘要：线套线 规定使用 OI 坐标系。 （按我的代码习惯）竖着关于 $1\sim n$ 建一棵线段树，该线段树的每个节点都是一棵内层线段树，若该节点的管辖区间为 $[L,R]$，则该内层线段树的管辖范围为 $l,r$ 的节点的实际管辖矩形为 $(L,l)\sim (R,r)$。 单点加，矩形查 修改：在外
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摘要：（强制在线）单点修，区间第 $k$ 小 首先有一个简单的序列分块+值域二分做法： 序列分块，对每个块建值域树状数组。 修改时暴力修改，$O(\log)$。 询问时将两侧散块合并建一个虚块，然后在值域上二分，在每块内查询，$O(B\log+num\log^2)$。 显然这是可平衡的，令 $B=num\
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摘要：竞赛图 姑且先挂载在这里。 性质 1：竞赛图缩点所得必为一条链，链上的重构点称为 Tier，Tier 1 是拓扑序最高的。 性质 2：出度最大的点必然在 Tier 1 中。 将所有点分为三类，第一类是出度最大的某个点 $u$，第二类是被 $k$ 直接指向的点，第三类是剩余的点。 不妨设存在点 $v$
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摘要：概述 自动机是一种对信号序列进行判定的数学模型。 信号序列：一串有序的信号，例如字符串。 判定：指输出为 $0/1$（在输入的信号序列可识别的前提下）。在 OI 中的自动机一般是广义的，即输出是任意的，具体来讲可能是在合法时输出对应方案的权值之类。 一般来讲，自动机可以抽象为一个有向图，点为状态，边
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摘要：概述 有时，我们维护的数据结构是静态的，但题目却要求加/删。 如果题目满足元素互相独立，则考虑定期重构吧！ 加入：将加入但还未整合到数据结构中的元素放入一个栈中，询问时暴力扫这个栈，到达阈值后将栈整合入数据结构，重新 build 一遍即可。 删除：考虑反演，我指的是算贡献（这要求贡献满足可减性，不过
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摘要：概述 LCA（least common ancestor），最近公共祖先的英文缩写。 顾名思义，LCA 就是树上两个点最近的公共祖先，或者说两个点共同在的极小子树的根。 树上差分则是利用树本身的结合性（显然树不满足差分性，是点到根的链满足差分性）与 LCA 结合做的操作，譬如给某个路径上所有点 $+
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摘要：概述 长链剖分通过把树剖成尽量长的多个链，高效地解决...我也不知道解决啥（长剖优化 DP 的东西在 DP 优化那边）。 毕竟这个东西，不具备启发式分裂的复杂度。不过其还是有一点性质的，有时候确实会用到... 恰如轻重剖是按 $siz$ 选重儿子，长剖是按 $dep$（这里指当前子树的最大深度）来选
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摘要：概述 轻重链剖分通过将树剖分为若干条重链和它们之间相连的轻边，将树上路径问题转化成序列问题。 具体来讲，有很多树上路径问题本质上是把序列上的问题搬到了树上，此时我们可以进行轻重链剖分（后简记为轻重剖或重剖），将树上路径拆分为多条重链头尾相接，并通过能快速维护重链信息的数据结构来求解。 重剖方式如下：
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摘要：前缀函数 前缀函数 \(\pi_i\) 为 \(s_{1\sim i}\) 的最大相同真前后缀长度，也即 \(s_{1\sim i}\) 的最长 border。 如无特别说明，本文中所有字符串下标从 \(1\) 开始，长度为 \(n\)。 考虑怎么求前缀函数。 首先肯定能想到暴力的 \(O(n^3)
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摘要：概述 坐，都坐。我知道各位都很激动，但这个缩写的全称是 Aho-Corasick automaton，AC 是两位发明者的姓氏，automaton：自动机。 AC 自动机通过将 trie 的结构和 KMP 的思想结合起来，利用 trie 的结构存储多模式串（或者说构建对应的图论模型），然后将 KMP
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