函数的定义域

前言

“皮之不存，毛将焉附”，函数的定义域是函数及其性质存在的基础和依托；函数的定义说“函数是非空数集到非空数集的映射”，第一个非空数集就是定义域。所以一提起函数及其性质，我们往往先想到的就是函数的定义域。如果一个函数的定义域是空集，那么这个函数即使给出了所谓的解析式，也是空函数，没有研究的价值，因此数学老师常常强调的一句话就是“定义域优先”。

不同形式

自然定义域，比如给定\(g(x)=\ln(x-1)\)，则使得解析式有意义的值都属于定义域，即解\(x-1>0\)得到定义域为\((1,+\infty)\)；

限定定义域，比如已知函数\(f(x)=2x^2-3sinx\)，\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)，则这就是限定定义域；

组合定义域，如\(f(x)\)\(\pm\)\(g(x)\)，\(f(x)\)\(\cdot\)\(g(x)\)的定义域是\(f(x)\)与\(g(x)\)的定义域的交集，\(\cfrac{f(x)}{g(x)}\)的定义域是\(f(x)\)与\(g(x)\)以及\(g(x)\)\(\neq\)\(0\)的定义域的交集，

实际问题定义域，比如线段长度为\(x\)，则至少必须满足\(x>0\)；

给出方式

1、直接给出(限定定义域)；如函数\(f(x)，x\in D\)

2、以表格形式给出；

3、以函数解析式的形式给出(自然定义域)；如已知函数\(f(x)=lg\cfrac{x+2}{x-2}\)，求其定义域;要知道这个函数的定义域，我们自然需要解不等式\(\cfrac{x+2}{x-2}>0\)，由穿针引线法可得定义域为\(x\)\(\in\)\((-\infty,-2)\)\(\cup\)\((2,+\infty)\)。

4、以图像的形式给出，如图所示，函数图像向\(x\)轴作正射影，就得到定义域；

向\(y\)轴作正射影，就得到值域。当然，你如果会用图像，那么由此图像还可以解不等式\(f(x)>0\)或\(f(x)\leq 0\)

5、以实际问题给出，比如\(x\)为某个线段的长度，则隐含\(x\ge 0\)，自然就不能取负值的。

求定义域

• 如果给定函数解析式，求定义域，转化为解不等式(组)；

已知函数\(f(x)=\cfrac{\sqrt{x^2-1}}{ln(x-1)}\)，求其定义域；

分析：要使得解析式有意义，须满足\(\begin{cases}x^2-1\ge 0\\x-1>0\\ln(x-1)\neq 0\end{cases}\)，从而解得\(\{x\mid x>1且x\neq 2\}\)，即定义域为\((1，2)\cup(2，+\infty)\).

• 复合函数的定义域

已知函数\(f(x)\)的定义域是\([-1，1]\)，求函数\(f(2x+1)\)的定义域；

分析：解决这类题目需要牢牢抓住两点：其一接受对应法则\(f\)作用的\(x\)和\(2x+1\)是处于对等位置的，

其二不论是给定函数的定义域还是求解函数的定义域，都是针对单独的自变量\(x\)而言，

据此可知由于\(-1\leq x\leq 1\)，故\(-1\leq 2x+1\leq 1\)，解得函数\(f(2x+1)\)的定义域是\(x\in [-1，0]\)。

已知函数\(f(x)=lg\cfrac{x+2}{2-x}\),求函数\(f(\cfrac{x}{2})+f(\cfrac{2}{x})\)的定义域；

分析：由上知，函数\(f(x)\)的定义域为\(x\in(-2，2)\)，故和自变量\(x\)对等的\(\cfrac{x}{2}\)和\(\cfrac{2}{x}\)也必须在这个范围内，

则有\(\begin{cases} -2<\cfrac{x}{2}<2 \\ -2<\cfrac{2}{x}<2 \end{cases}\)，解得\(x\in (-4，-1)\cup(1，4)\)。

已知函数\(f(x+1)\)的定义域是\([0，1]\)，求函数\(f(2^x-2)\)的定义域。

分析：这里同样你得清楚\(x+1\)和\(2^x-2\)是对等的，先由\(x\in[0，1]\)，

计算得到\(1\leq x+1\leq 2\)，故\(1\leq 2^x-2\leq 2\)，

解得\(3\leq 2^x\leq 4\)，同时取以2为底的对数得到\(log_2^3\leq x\leq 2\)，

则所求定义域是\(x\in [log_2^3，2]\)。

• 分段函数的定义域

已知函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+4x，&x\ge0\\4x-x^2，&x<0\end{cases}\)，求其定义域；

分析：分段函数的定义域是各段函数的定义域的并集，当然值域也是各段函数的值域的并集；

• 抽象函数的定义域(往往和复合函数不分家)

已知函数\(f(2x+1)\)的定义域是\([-1，1]\)，求函数\(f(x)\)的定义域；

分析：由上面的例子分析可知，所给函数的定义域是\([-1，1]\)，即函数\(f(2x+1)\)的自变量\(x\)的取值范围是\([-1，1]\)，

故内函数\(2x+1\)的取值范围这样求解，由\(-1\leq x \leq 1\)，得到\(-2\leq 2x \leq 2\)，

所以\(-1=-2+1\leq 2x+1 \leq 2+1=3\)，又由于\(2x+1\)和\(x\)对等(你可以理解为这两个接受同样的纪律约束也行)，

所以\(f(x)\)的\(x\)的取值范围应该是\(-1\leq x\leq 3\)，故函数\(f(x)\)的定义域是\([-1，3]\)。

【2019届高三理科函数及其表示课时作业第15题】已知函数\(f(x^2-3)=lg\cfrac{x^2}{x^2-4}\)，则\(f(x)\)的定义域为____________。

分析：本题目的定义域求解应该考虑两层要求，

其一需要解析式\(lg\cfrac{x^2}{x^2-4}\)有意义，

即\(\cfrac{x^2}{x^2-4}>0\)，解得\(x<-2\)或\(x>2①\)；

其二，令\(x^2-3=t\)，则\(t\ge -3\)，则\(x^2=t+3\)，\(x^2-4=t-1\)，

故原函数可以改写为\(f(t)=lg\cfrac{t+3}{t-1}(t\ge -3)\)，

即\(f(x)=lg\cfrac{x+3}{x-1}(x\ge -3)\)，

则在\(x\ge -3\)时，还必须\(\cfrac{x+3}{x-1}>0\)，解得\(x<-3\)或\(x>1\)，

故所求定义域必须同时满足条件

\(\left\{\begin{array}{l}{x<-2，x>2}\\{x\ge -3}\\{x<-3，x>1}\end{array}\right.\)，故定义域为\(x>2\)，即\((2，+\infty)\)；

总结：上述的解法是错误的，原因是解析式右端\(lg\cfrac{x^2}{x^2-4}\)中的\(x\)与\(f(x)\)中的\(x\)的内涵不一样，

\(f(x)\)中的\(x\)与\(f(x^2-3)\)中的\(x^2-3\)的整体是对等的，故需要先等价转化得到函数的解析式。

【正解】令\(x^2-3=t\)，则\(t\ge -3\)，则\(x^2=t+3\)，\(x^2-4=t-1\)，

故原函数可以改写为\(f(t)=lg\cfrac{t+3}{t-1}(t\ge -3)\)，

即\(f(x)=lg\cfrac{x+3}{x-1}(x\ge -3)\)，

则在\(x\ge -3\)时，还必须\(\cfrac{x+3}{x-1}>0\)，解得\(x<-3\)或\(x>1\)，

故所求定义域必须同时满足条件

\(\left\{\begin{array}{l}{x\ge -3}\\{x<-3，x>1}\end{array}\right.\)，故定义域为\(x>1\)，即\((1，+\infty)\)；

• 三角函数定义域

【求三角不等式和其他不等式的交集】求函数\(f(x)=\sqrt{5-|x|}+log_a(sinx-\cfrac{1}{2})\)的定义域。

分析：由题目可知，\(|x|\leq 5①\)，且\(sinx>\cfrac{1}{2}②\)

解①得到\(-5\leq x\leq 5\)；解②得到\(2k\pi+\cfrac{\pi}{6}<x<2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)\)，

二者求交集，如右图所示，

得到定义域为\([-5，-\cfrac{7\pi}{6})\cup (\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{5\pi}{6})\)。

影响要素

• 当函数的图像发生变换时，其定义域和值域常常会随之发生变化，举例说明如下：

比如已知函数\(f(x)\)的定义域是\([1，5]\)，则\(x\in [1，5]\)

平移变换：则\(f(x+2)\)的定义域就变成了\([-1，3]\)，原因是\(1\leq x+2\leq 5\)，解得\(x\in [-1，3]\)；

伸缩变换：则\(2f(x)\)的定义域不做变化。

周期变换：则\(f(2x)\)的定义域就变成了\([\cfrac{1}{2}，\cfrac{5}{2}]\)，原因是\(1\leq 2x\leq 5\)，解得\(x\in[\cfrac{1}{2}，\cfrac{5}{2}]\)；

易错警示

• 当题目中明确要求定义域时，一般学生都不会出错，但是在解题中学生又非常容易犯错误，主要原因还是缺乏定义域优先考虑的意识。一般来说，只要是研究函数的问题，不管题目是否要求我们求解定义域，都应该先确定函数的定义域，否则研究的函数就是无源之水，无本之木。

【2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题】若函数\(f(x)=log_a^\;(6-ax)\)在\([0，2]\)上为减函数，则实数\(a\)的取值范围是【\(\qquad\)】

$A.[3，+\infty)$ $B.(0，1)$ $C.(1，3]$ $D.(1，3)$

分析：令\(g(x)=6-ax\)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域，学生常犯的错误就是只考虑单调性而不顾及定义域。

由题目可知必有\(a>0\)，故函数\(g(x)\)单调递减，考虑定义域时只要最小值\(g(2)>0\)即可，解得\(6-2a>0\)，即\(a<3\)，

再考虑外函数必须是增函数，故\(a>1\)，综上可知，解得\(1<a<3\)，故选\(D\)。

引申：原题目改为在\([0，2)\)上为减函数，则实数\(a\)的取值范围是\(a\in (1，3]\)。

典例剖析

• 如果题目给出了函数的定义域，那么这时往往会转而求函数的其他性质，或者将已知的定义域转化为其他的命题。

已知函数\(f(x)=\cfrac{mx-1}{mx^2+4mx+3}\)的定义域为\(R\)，求\(m\)的取值范围；

分析：由题可知，分母函数\(y=mx^2+4mx+3\neq 0\)对任意\(x\in R\)都成立，分类讨论如下：

①当\(m=0\)时，\(y=3\neq 0\)对任意\(x\in R\)恒成立，故满足题意；

②当\(m\neq 0\)时，结合分母函数的图像可知当\(x=0\)时，分母为\(3\)，故不存在\(a<0\)且\(\Delta<0\)的情形；，必须满足\(\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{\Delta <0}\end{array}\right.\)，

即\(\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{\Delta=(4m)^2-4\times 3m<0}\end{array}\right.\)，解得\(0<m<\cfrac{3}{4}\)；

综上所述，\(m\)的取值范围为\([0，\cfrac{3}{4})\)；

函数\(y=lg(x^2-2x+a)\)的值域不可能是【\(\qquad\)】

$A.(-\infty，0]$ $B.[0，+\infty)$ $C.[1，+\infty)$ $D.R$

分析：对照右下图可知，若参数\(a\)的取值能使得函数\(g(x)=x^2-2x+a\)取遍所有的正实数，

则函数\(y=lgg(x)=lg(x^2-2x+a)\)的值域为\(R\)，若不能取遍取遍所有的正实数，

则其值域可能为\([0，+\infty)\)或者\([1，+\infty)\)，但是就是不可能为\((-\infty，0]\)，故选\(A\)。

【2016南京模拟】\(f(x)\)是定义在\((0，+\infty)\)上的单调增函数，满足\(f(xy)=f(x)+f(y)\)，\(f(3)=1\)，当\(f(x)+f(x-8)\leq 2\)时，求\(x\)的取值范围。

分析：\(f(3)+f(3)=f(3\times3)=f(9)=2\)， \(f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]\leq 2=f(9)\)，

等价转化为\(\begin{cases}x>0\\x-8>0\\x(x-8)\leq 9\end{cases}\)， 解得\(8<x\leq 9\).

易错： 如果 \(f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]\leq 2=f(9)\)，转化得到\(\begin{cases}x(x-8)>0\\x(x-8)\leq 9\end{cases}\)，这样的转化往往是不等价的，因为\(x(x-8)>0\)包含了\(x>0，x-8>0\)和\(x<0，x-8<0\)两种情形，由此我们得到的经验是求定义域是一般对函数的形式不做变形，

• 因为我们大多做不到等价变形；比如给定函数\(y=lgx^2\)，我们常常会化为\(y=2lgx\)，殊不知这样的变形是错误的，\(y=lgx^2\)的定义域是\((-\infty，0)\cup(0，+\infty)\)，还是偶函数，而\(y=2lgx\)的定义域是\((0，+\infty)\)，没有奇偶性，其实\(y=lgx^2=2lg|x|\)，有人就纳闷了，我们平时不是经常用公式\(log_a\;b^n=nlog_a\;b\)，对，没错，但是你注意过公式中的字母取值吗？

【2021届高三数学定时训练用题】已知函数 \(f(x)=\cfrac{x+a}{x+b}\) (\(a\)， \(b\) 为常数).

(1).若 \(b=1\)， 解不等式 \(f(x-1)<0\)；

解析： \(f(x)=\cfrac{x+a}{x+b}\)， \(b=1\)， \(f(x)=\cfrac{x+a}{x+1}\)，

故 \(f(x-1)=\cfrac{(x-1)+a}{(x-1)+1}=\cfrac{x-1+a}{x}\)

由于题目已知 \(f(x-1)<0\)， 则有\(\cfrac{x-1+a}{x}<0\)， 等价于\(x[x-(1-a)]<0\)，

以下针对方程的两个根 \(x_1=0\) 与 \(x_2=1-a\) 的大小分类讨论如下：

①当 \(1-a>0\) 时，即 \(a<1\) 时，不等式的解集为\((0,1-a)\);

②当 \(1-a=0\) 时，即 \(a=1\) 时，不等式的解集为\(\varnothing\);

③当 \(1-a<0\) 时，即 \(a>1\) 时，不等式的解集为\((1-a,0)\);

(2).若 \(a=1\)，当 \(x\in[-1,2]\) 时， \(f(x)>\cfrac{-1}{(x+b)^{2}}\) 恒成立，求 \(b\) 的取值范围.

解析： 由于 \(a=1\)， \(f(x)>\cfrac{-1}{(x+b)^{2}}\)，故\(\cfrac{x+1}{x+b}>\cfrac{-1}{(x+b)^{2}}\)，

两边同时乘以\((x+b)^2\)，变形注意，此处不是恒等变形，漏掉了对分母的限制，后边就需要考虑定义域，对分母加以限制得到 \((x+b)(x+1)>-1\)，[以下想分离参数 \(b\)，故分类讨论如下]

①当\(x=-1\)时，由于 \(x+1\)若做分母就是\(0\)，不能分离参数，此时得到\((-1+b)\cdot 0>-1\)，此时\(b\in R\) 恒成立，

②当 \(-1<x \leqslant 2\) 时， 此时可以分离参数，得到\(b>-\cfrac{1}{x+1}-x=1-[\cfrac{1}{x+1}+(x+1)]\)，

由于\(x+1>0\)， \(\cfrac{1}{x+1}+(x+1)\geqslant 2 \sqrt{\cfrac{1}{x+1}\cdot(x+1)}=2\)

当且仅当 \(x=0\) 时，等号成立， 故 \(b>1-2=-1\).

又由于分母的限制，则定义域需满足 \(x+b\neq 0\) ，即 \(x \neq-b\)，

故 \(-b\notin[-1,2]\)，即 \(-b<-1\) 或 \(-b>2\) ，

故 \(b<-2\) 或 \(b>1\)，

综上所述， 对以上三种结果[\(b\in R\)和\(b>-1\)和 \(b<-2\) 或 \(b>1\)]求交集针对自变量分类讨论的恒成立类题目，一般要取交集；，得到 \(b>1\) .