复合函数

前言

复合函数是高中数学中的一大难点，那么什么是复合函数呢？就像我们学习集合的交集运算时，有 \(A\cap(B\cap C)\)一样(求完交集再求交集)，由 \(x\rightarrow g(x)\)(对应)，再由\(g(x)\rightarrow f[g(x)]\)(对应完后再对应)，这样我们得到的函数 \(y=f[g(x)]\)就是复合函数。

复习准备

• 基本初等函数，可以类比原子是构成物质的最基本的不可再分的微粒一样，来理解基本初等函数和其他函数的关系。高中阶段所学习的函数中，只有前五种基本初等函数，需要学生切实掌握。第六种现在不需要学生学习。

①常函数\(f(x)=c(c\)为常数) ；

②幂函数\(f(x)=x^{\alpha}\) ；

③指数函数\(f(x)=a^x(a>0\)且\(a\neq 1)\) ；

④对数函数\(f(x)=log_ax(a>0\)且\(a\neq 1)\) ；

⑤三角函数\(f(x)=sinx\)或\(f(x)=cosx\) ；

⑥反三角函数\(f(x)=arcsinx，x\in[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2}]\)等 ，

• 初等函数：由基本初等函数经过四则运算所构成的函数。如一次函数，二次函数等。比如，一次函数\(f(x)=kx+b(k\neq 0)\)，其实是常函数\(y=k\)与幂函数\(y=x\)相乘，再与常函数\(y=b\)求和得到的；比如，指数型函数\(y=3\cdot 2^x+1\)，其实是常函数\(y=3\)与指数函数\(y=2^x\)相乘，再与常函数\(y=1\)求和得到的。

复合函数

高中阶段涉及到的复合函数，一般就由以上的基本初等函数或初等函数复合而成。为控制难度，一般大多只复合一次。

定义：设函数\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\)，则函数\(y=f[g(x)]\)称为由\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\)复合而成的复合函数，其中函数\(y=f(u)\)常常称为外函数，函数\(u=g(x)\)常常称为内函数，其中内函数的值域必须是外函数的定义域的子集。

如何拆分

有时候，我们却需要将复合函数拆分开，以便于解决相应的问题。此时我们应该注意，要尽可能将函数拆分为为基本初等函数或初等函数。比如，给定函数如\(y=(\cfrac{1}{2})^{2x^2+3x-1}\)，我们就拆分为\(y=(\cfrac{1}{2})^u\)和\(u=2x^2+3x-1\)两个函数。

典例剖析

• 涉及复合函数+抽象函数的定义域，需要注意以下几点：

①比如 \(f(x)\) 与 \(f(x+2)\) 和 \(f(2^x-3)\) 中，由于自变量 \(x\) 与 \(x+2\) 和 \(2^x-3\) (此处需要将 \(x+2\) 和 \(2^x-3\)分别看成一个整体对待，比如 \(t=x+2\) 或 \(t=2^x-3\))接受同样的对应关系的作用，故所受的限制应该是一样的，即三个自变量(或自变量的整体)的取值范围应该是一样的；举个实际例子，三个自变量 \(x\) 与 \(x+2\) 和 \(2^x-3\)就类似一个班级里的某个单个人，某个小组，某个组织等，它们都应该接受这个班级的纪律约束(就类似对应关系 \(f\) )一样.

②已知定义域或求解定义域都是针对单独的自变量 \(x\) 而言。

已知函数\(f(x)\)的定义域是\([-1，1]\)，求函数\(f(2x+1)\)的定义域；

分析：解决这类题目需要牢牢抓住两点：其一接受对应法则\(f\)作用的\(x\)和\(2x+1\)是处于对等位置的，其二不论是给定函数的定义域还是求解函数的定义域，都是针对单独的自变量\(x\)而言，

据此可知由于\(-1\leq x\leq 1\)，

故\(-1\leq 2x+1\leq 1\)，解得\(x\in [-1，0]\)，

故复合函数\(f(2x+1)\)的定义域是\(x\in [-1，0]\)。

已知函数\(f(x+1)\)的定义域是\([0，1]\)，求函数\(f(2^x-2)\)的定义域。

分析：这里同样你得清楚\(x+1\)和\(2^x-2\)是对等的，

先由\(x\in[0，1]\)，计算得到\(1\leq x+1\leq 2\)，故\(1\leq 2^x-2\leq 2\)，

解得\(3\leq 2^x\leq 4\)，同时取以2为底的对数得到\(log_2^3\leq x\leq 2\)，

则所求定义域是\(x\in [log_2^3，2]\)。

已知函数\(f(2x+1)\)的定义域是\([-1，1]\)，求函数\(f(x)\)的定义域；

分析：由上面的例子分析可知，所给函数的定义域是\([-1，1]\)，

即函数\(f(2x+1)\)的自变量\(x\)的取值范围是\([-1，1]\)，

故内函数\(2x+1\)的取值范围这样求解，

由\(-1\leq x \leq 1\)，得到\(-2\leq 2x \leq 2\)，

所以\(-1=-2+1\leq 2x+1 \leq 2+1=3\)，

又由于\(2x+1\)和\(x\)对等(你可以理解为这两个接受同样的纪律约束也行)，

所以\(f(x)\)的\(x\)的取值范围应该是\(-1\leq x\leq 3\)，

故函数\(f(x)\)的定义域是\([-1，3]\)。

• 复合函数的值域

【2019河南普通高中高考适应性考试】已知函数\(f(x)=log_{0.5}(sinx+cos^2x-1)\)，\(x\in (0,\cfrac{\pi}{2})\)，则\(f(x)\)的取值范围是_____________。

分析：设\(g(x)=sinx+cos^2x-1\)，\(x\in (0,\cfrac{\pi}{2})\)，则\(g(x)=sinx-sin^2x=-(sinx-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{1}{4}\)，

又\(0<sinx<1\)，故当\(sinx=\cfrac{1}{2}\)时，\(g(x)_{max}=\cfrac{1}{4}\)，即\(0<g(x)\leqslant \cfrac{1}{4}\)，

故\(f(x)=log_{0.5}g(x)\geqslant log_{0.5}\cfrac{1}{4}=2\)，故\(f(x)\in [2，+\infty)\)。

已知函数 \(f(x)=\ln x+\ln (a-x)\) 的图象关于直线 \(x=1\) 对称， 则函数 \(f(x)\) 的值域为 【\(\qquad\)】

$A.(0,2)$ $B.[0,+\infty)$ $C.(-\infty,2]$ $D.(-\infty, 0]$

解: 根据题意， 对于函数 \(f(x)=\ln x+\ln (a-x)\)，

有 \(f(a-x)=\ln (a-x)+\ln [a-(a-x)]=\ln x+\ln (a-x)=f(x)\)，即\(f(a-x)=f(x)\)，

则函数 \(f(x)\) 的图象关于直线 \(x=\frac{a}{2}\) 对称，

若函数 \(f(x)=\ln x+\ln (a-x)\) 的图象关于直线 \(x=1\) 对称，则有 \(\cfrac{a}{2}=1\)， 则 \(a=2\)，

则 \(f(x)=\ln x+\ln (2-x)=\ln \left(2 x-x^{2}\right)\)，其定义域为 \((0,2)\)，

设 \(t=2 x-x^{2}\)， 则 \(y=\ln t\)，

又由 \(t=-(x-1)^{2}+1\)，\(0<x<2\)， 则有 \(0<t\leqslant 1\)， 则 \(y=\ln t\leqslant 0\)，

即函数 \(f(x)\) 的值域为 \((-\infty, 0]\)， 故选: \(D\) .

• 复合函数的单调性

已知函数\(f(x)=log_2(x^2-3x+2)\)，求其单调性。

分析：令\(u=x^2-3x+2\)，则原复合函数拆分为外函数\(y=f(u)=log_2u\)和内函数\(u=x^2-3x+2\)

由\(u=x^2-3x+2>0\)，解得\(x\in (-\infty，1)\cup(2，+\infty)\)，

即此复合函数的定义域为\(x\in (-\infty，1)\cup(2，+\infty)\)。

那么要研究其单调性，必须先在上述定义域范围内，定义域优先原则。

然后由\(u=x^2-3x+2=(x-\cfrac{3}{2})^2-\cfrac{1}{4}\)，

则内函数\(u(x)\)在区间\((-\infty，1)\)上单调递减，在区间\((2，+\infty)\)上单调递增，

而外函数\(y=f(u)=log_2u\)只是单调递增的，

故复合函数\(f(x)\)在区间\((-\infty，1)\)上单调递减，在区间\((2，+\infty)\)上单调递增。

【求复合函数的单调区间】【2018天津模拟】已知函数\(y=f(x)(x\in R)\)的图像如图所示，则函数\(g(x)=f(log_ax)(0<a<1)\)的单调递减区间为【\(\quad\)】

$A.[0，\cfrac{1}{2}]$ $B.[\sqrt{a}，1]$ $C.(-\infty，0)\cup[\cfrac{1}{2}，+\infty)$ $D.[\sqrt{a}，\sqrt{a+1}]$

分析：由图可知，外函数\(f(x)\)在区间\((-\infty，0)\)和\([\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上单调递减，在区间\([0，\cfrac{1}{2}]\)上单调递增，

又\(0<a<1\)时，内函数\(y=log_ax\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，

故要使得复合函数函数\(g(x)=f(log_ax)(0<a<1)\)单调递减，

则需要\(log_ax\in [0，\cfrac{1}{2}]\)，即\(0\leq log_ax\leq \cfrac{1}{2}\)，

解得\(x\in [\sqrt{a}，1]\)，故选\(B\)。

• 已知复合函数的单调性求参数的取值范围

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】若函数\(f(x)=log_{0.4}(5+4x-x^2)\)在区间\((a-1，a+1)\)上单调递减，则实数\(a\)的取值范围是【】

$A.[0，1]$ $B.(0，1)$ $C.[3，4]$ $D.(3，4)$

分析：内函数\(g(x)=-(x-2)^2+9\)，若要在区间\((a-1，a+1)\)上单调递减，

则内函数需要满足条件\(a+1\leq 2\)①；

又由于内函数必须恒为正，故需要满足\(-(a-1-2)^2+9\ge 0\)②，

联立①②可得，\(0\leq a\leq 1\)；故选\(A\)。

【2017·合肥模拟】若函数\(f(x)=log_{3a}[(a^2-3a)x]\)在\((-\infty，0)\)上是减少的，则实数\(a\)的取值范围是多少？

分析：令\(g(x)=(a^2-3a)x\)，由于\(g(x)>0\)在区间\((-\infty，0)\)上要恒成立，

则有\(a^2-3a<0\)，这样内函数\(g(x)\)只能单调递减，复合函数\(f(x)=log_{3a}g(x)\)是单调递减的，

所以外函数必须是单调递增的，故\(3a>1\)，由\(\begin{cases}a^2-3a<0\\3a>1\end{cases}\)，

解得\(\cfrac{1}{3}<a<3\)，故\(a\in(\cfrac{1}{3}，3)\)。

【2021届高三文科数学二轮资料用题】若定义在 \([1,2]\) 上的函数 \(f(x)=\log _{a}(6-ax)\) 为减函数，且 \(2 f(x) \leqslant 3^{\log _{3} 4}\) 恒成立，则实数 \(a\) 的取值范围是________________.

解析：由于外函数的特性，\(a>0\) 且 \(a\neq 1\)，且复合函数 \(f(x)=\log _{a}(6-ax)\) 为减函数，

故由复合函数的性质得 \(a>1\)， 则由定义域可知 当 \(x \in[1,2]\) 时，由 \(6-a x>0\) 恒成立，

得到， \(6-2a>0\)， 解得 \(a<3\)；

又由于 \(2f(x)\leqslant 3^{\log _{3} 4}\) 恒成立， 即 \(f(x)\leqslant 2\) 恒成立.

即\(f(x)_{max}\leqslant 2\)，又 \(f(x)_{max}=f(1)\)，即得到 \(\log _{a}(6-a)\leqslant 2\)

即 \(\log _{a}(6-a)\leqslant \log_{a}a^2\)，由于 \(a>1\)，

得到 \(6-a\leqslant a^2\)，解得 \(a\leqslant -3\)或 \(a\geqslant 2\)

综上所述，实数 \(a\) 的取值范围为 \([2，3)\).

【2018湖南张家界三模用题】若函数\(f(x)=log_m\cfrac{4x^2+m}{x}(m>0，m\neq 1)\)在\([2,3]\)上单调递增，则\(m\)的取值范围是【】

$A.(1，36]$ $B.[36，+\infty)$ $C.(1，16]\cup[36，+\infty)$ $D.(1，16]$

分析：令内函数为\(g(x)=\cfrac{4x^2+m}{x}=4x+\cfrac{m}{x}\)，借助对勾函数可知，

函数\(g(x)\)在\((0，\cfrac{\sqrt{m}}{2}]\)上单调递减，在\([\cfrac{\sqrt{m}}{2}，+\infty)\)上单调递增；

由于复合函数\(f(x)\)在\([2,3]\)上单调递增，则可能有两种情形：

其一为外函数单调递减且内函数单调递减，其二为外函数单调递增且内函数单调递增，

则只需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{0<m<1}\\{3\leqslant \cfrac{\sqrt{m}}{2}}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{m>1}\\{\cfrac{\sqrt{m}}{2}\geqslant 2}\end{array}\right.\)

解得\(m\in \varnothing\)或\(1<m\leqslant 16\)，即\(m\in (1，16]\)，故选\(D\).

【2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题】若函数\(f(x)=log_a^\;(6-ax)\)在\([0，2]\)上为减函数，则实数\(a\)的取值范围是【】

$A.[3，+\infty)$ $B.(0，1)$ $C.(1，3]$ $D.(1，3)$

分析：令\(g(x)=6-ax\)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域，

易错之处就是只考虑单调性而不顾及定义域。

由题目可知必有\(a>0\)，故函数\(g(x)\)单调递减，

考虑定义域时只要最小值\(g(2)>0\)即可，再考虑外函数必须是增函数，故\(a>1\)，

结合\(g(2)>0\)，解得\(1<a<3\)，故选\(D\)。

• 复合函数的求导

①设\(f(x)=sin(2x+1)\)，求导函数\(f'(x)\)；

分析：我们目前一般只涉及一次复合的函数如\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\)，

则复合函数为\(y=f[g(x)]\)，\([f(g(x))]'=f'[g(x)]\cdot g'(x)\)；

令\(\phi=2x+1\)，则\(y=f(x)=sin\phi\)，故\(f'(x)=y'_x=y'_{\phi}\cdot \phi'_x=cos\phi\cdot 2=2cos(2x+1)\)；

②设\(g(x)=ln(x^2+3x)\)，求导函数\(g'(x)\)；

分析：\(g'(x)=\cfrac{1}{x^2+3x}\cdot (x^2+3x)'=\cfrac{2x+3}{x^2+3x}\)；

说明：函数\(f(x)=x^2\pm lnx\)，不是复合函数，只是两个函数\(y=x^2\)与函数\(y=lnx\)之间用四则运算构成的一个新函数。

③[抽象复合函数的求导]设\(g(x)=x\cdot f(2x)\)，求\(g'(x)\)

分析：\(g'(x)=[x\cdot f(2x)]'=x'\cdot f(2x)+x\cdot f'(2x)\cdot (2x)'=f(2x)+2x\cdot f'(2x)\)

• 注意：复合函数求导时的运算，如对\(y=ln(\cfrac{1+x}{1-x})\)直接求导，不如变形为\(y=ln(1+x)-ln(1-x)\)后求导；

若\(f(x)=e^{-x}\)，则\(f'(x)=-e^{-x}\)；若\(f(x)=e^{2x}\)，则\(f'(x)=2e^{2x}\)；

若\(f(x)=cos(2x+\cfrac{\pi}{3})\)，则\(f'(x)=-2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\)；

若已知\(f(2x+3)\)，则\([f(2x+3)]'=2f'(2x+3)\)；

• 已知复合函数的定义域或值域为\(R\)，求参数的取值范围；

已知函数\(f(x)=ln(x^2+2ax-a)\)，

①如果函数的定义域是\(R\)，求参数\(a\)的取值范围；

预备：先想一想，这个函数的定义域应该怎么求解？

分析：由于函数的定义域是\(R\)，说明对任意的\(x\in R\)，都能使得\(g(x)=x^2+2ax-a>0\)，

转化为二次函数恒成立问题了，(此时至少可以考虑数形结合或者恒成立分离参数)

这里用数形结合，函数\(g(x)\)开口向上，和\(x\)轴没有交点，则\(\Delta <0\)，

即\(\Delta=(2a)^2-4\times 1\times(-a)<0\)，解得\(a\in (-1，0)\)。

②如果函数的值域是\(R\)，求参数\(a\)的取值范围；

分析：如右图所示，要使得函数\(f(x)\)的值域是\(R\)，说明内函数\(g(x)=x^2+2ax-a\)必须要能取遍所有的正数，结合下图，

如果有一部分正实数不能取到，那么函数\(f(x)\)的值域就不会是\(R\)，这样只能是函数\(g(x)\)的\(\Delta \ge 0\)，

而不能是\(\Delta <0\)，注意现在题目要求是值域为\(R\)，而不是定义域为\(R\)，

因此必须满足条件\(\Delta=(2a)^2-4\times 1\times(-a)\ge 0\)，解得\(a\in \{a\mid a\leq -1 ，a\ge 0\}\)。

下图是参数\(a\in [-3，3]\)时的两个函数图像的动态变化情况；

下图是参数\(a\in (-1，0)\)时的两个函数图像的动态变化情况；