二轮复习中用题的特点和应对策略

前言

二轮复习中涉及的备考试题，大多打的是组合拳，即将一轮中学习的单个的题型和方法组合到一个题目中考查，这就要求学生对一轮里的每一个知识点要非常熟悉才行，通过下面的题目，我们可以自行体会下，由此反过来我们也能体会一轮到底应该付出到什么程度才行。

考点关联速查表Ⅰ；\(\qquad\)考点关联速查表Ⅱ；

考点关联速查表Ⅲ；\(\qquad\)考点关联速查表Ⅳ；

案例剖析

【2022届高三文科二轮定时训练题】已知各项均为正数的数列 \(\{a_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_{n}\)，且满足 \(a_{1}^{3}\)\(+\)\(a_{2}^{3}\)\(+\)\(a_{3}^{3}\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\(a_{n}^{3}\)\(=\)\(S_{n}^{2}\)\(+\)\(2 S_{n}\)， 设 \(b_{n}=\cfrac{a_{n}}{2^{n}}\)， 数列 \(\{b_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(T_{n}\)， 则使得 \(T_{n}<m\) 成立的最小的 \(m\) 的值为_________.

〔审题分析〕：\(\Leftarrow\) \(T_{n}<m\) 成立的最小的 \(m\) 的值，属于不等式恒成立问题；

\(\Leftarrow\) 求解数列 \(T_n\) 的最大值或最大值的极限；

\(\Leftarrow\) 求解数列 \(b_n\) 的通项公式，观察 \(b_n\) 的结构，猜测其可能是差比数列，则要使用错位相减法求和；

\(\Leftarrow\) 求数列 \(a_n\) 的通项公式，结合已知条件的结构特征；

\(\Leftarrow\) 利用 \(a_n\) 与 \(S_n\) 的关系求解 \(a_n\)；

〔具体解析〕： 由 \(a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}+\cdots+a_{n}^{3}=S_{n}^{2}+2 S_{n}\)，

得 \(a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}+\cdots+a_{n-1}^{3}=S_{n-1}^2+2 S_{n-1}(n \geqslant 2)\)， 两式相减得

\(a_{n}^{3}=S_{n}^2+2 S_{n}-S_{n-1}^{2}-2 S_{n-1}=a_{n}(S_{n}+S_{n-1})+2a_{n}(n \geqslant 2)\)

由于\(a_{n}>0\)， \(a_{n}^2=S_{n}+S_{n-1}+2(n\geqslant 2)\)，

所以\(a_{n-1}^{2}=S_{n-1}+S_{n-2}+2(n \geqslant 3)\)，

两式相减得， \(a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}=a_{n}+a_{n-1}(n\geqslant 3)\)，

由于\(a_{n}>0\)，则得到 \(a_{n}-a_{n-1}=1(n\geqslant 3)\)注意，此时还不能判断数列 \(\{a_n\}\) 为等差数列，还差一个 \(a_{2}\)\(-\)\(a_{1}\)\(=\)\(1\)的验证，故接下来是计算验证\(a_{2}\)\(-\)\(a_{1}\)是否等于\(1\)，若等于就是等差数列，若不等于就不是等差数列；，

又当 \(n=1\) 时，有 \(a_{1}^{3}=S_{1}^{2}+2 S_{1}\)；

当 \(n=2\) 时，有 \(a_{1}^{3}+a_{2}^{3}=S_{2}^{3}+2 S_{2}\)

解得 \(a_{1}=2\)， \(a_{2}=3\) ，\(a_{2}-a_{1}=1\)，

故数列 \(\{a_{n}\}\) 是首项为 \(2\) 公差为 \(1\) 的等差数列，

所以，\(a_{n}=2+(n-1)=n+1\) ，\(b_{n}=\cfrac{n+1}{2^{n}}\)，

所以， \(T_{n}=\cfrac{2}{2^{1}}+\cfrac{3}{2^{2}}+\cfrac{4}{2^{3}}+\cdots+\cfrac{n+1}{2^{n}}\)，

\(\cfrac{1}{2}T_{n}=\cfrac{2}{2^{2}}+\cfrac{3}{2^{3}}+\cfrac{4}{2^{4}}+\cdots+\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)，

两式相减得， \(\cfrac{1}{2}T_{n}=1+\cfrac{1}{2^{2}}+\cfrac{1}{2^{3}}+\cdots+\cfrac{1}{2^{n}}-\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)，

\(=1+\cfrac{\cfrac{1}{2^{2}}[1-(\cfrac{1}{2})^{n-1}]}{1-\cfrac{1}{2}}-\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)，

\(=1+\cfrac{1}{2}[1-(\cfrac{1}{2})^{n-1}]-\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)

\(=1+\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2^n}-\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)

\(=\cfrac{3}{2}-\cfrac{2}{2^{n+1}}-\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)

\(=\cfrac{3}{2}-\cfrac{n+3}{2^{n+1}}\)，

所以，\(T_{n}=3-\cfrac{n+3}{2^{n}}<3\)，故 \(T_n\) 的最小值的极限为 \(3\)，

故要使得 \(T_{n}<m\) 恒成立，则 \(m\geqslant 3\)，即 \(m\) 的最小值为 \(3\) .

〔解后反思〕本题目综合程度比较高，涉及类型：① 由 \(a_n\) 与 \(S_n\) 的关系求解 \(a_n\)；②等差数列的判定；③等差数列的通项公式；④差比数列；⑤错位相减法；⑥放缩法；⑦恒成立命题；