错位相减求和法

前言

等比数列的前\(n\)项的求和公式的推导方法，就是错位相减求和法。

适用范围

①等比数列[基本]；

②差比数列[拓展]；错位相减求和法适用于由等差数列\(\{a_n\}\)和等比数列\(\{b_n\}\)对应相乘得到的差比数列\(\{a_n\cdot b_n\}\)；比如有题目给定一个数列\(\{\cfrac{n}{2^n}\}\)，我们先将其适当变形为\(\{n\cdot (\cfrac{1}{2})^n\}\)，则可以看出其第一个因子数列\(a_n=n\)就是个等差数列，第二个因子数列\(b_n=(\cfrac{1}{2})^n\)就是个等比数列；故数列\(\{a_n\cdot b_n\}\)就是差比数列；

• 如何判断一个数列是等差还是等比数列？

①学会将所给的数列的通项公式找出来；

②从函数的角度看，若数列是关于\(n\)的一次型函数，则此数列一定为等差数列；

③从函数的角度看，若数列是关于\(n\)的指数型函数，则此数列一定为等比数列；

求和：\(S_n=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\)；

分析：认真观察此数列，把数列的每一项由乘号分隔开，都人为的拆分为两项，

每一项的第一个因子构成数列为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(\cdots\)，\(n\)，是个等差数列，

每一项的第二个因子构成数列为\(2\)，\(2^2\)，\(2^3\)，\(\cdots\)，\(2^n\)，是个等比数列，故上述求和是个差比数列求和，应该使用错位相减求和法；

或者你的函数知识掌握的不错的话，则一眼就能认出来其通项公式为\(n\cdot 2^n\)，故其第一个因子数列\(a_n=n\)就是个等差数列，第二个因子数列\(b_n=2^n\)就是个等比数列；故
上述求和是个差比数列求和，应该使用错位相减求和法，

相关公式

①等差数列的\(S_n=\cfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\cfrac{n(n-1)\cdot d}{2}\)

②等比数列的\(S_n=\left\{\begin{array}{l}{na_1，q=1}\\{\cfrac{a_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a_1-a_nq}{1-q}，q\neq 1}\end{array}\right.\)

③\(1+2+3+\cdots+ n=\cfrac{n(n+1)}{2}\)；

④\(1+3+5+\cdots +(2n-1)=\cfrac{[1+(2n-1)]\cdot n}{2}=n^2\)，注意求和项数为\(n\)项；

⑤\(2+4+6+\cdots +2n=\cfrac{(2+2n)\cdot n}{2}=n^2\)，注意求和项数为\(n\)项；

⑥\(1^2+2^2+3^2+\cdots+ n^2=\cfrac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\)；

⑦\(1^3+2^3+3^3+\cdots+ n^3=[\cfrac{n(n+1)}{2}]^2\)；

⑧由\(a_{n+2}-a_n=2\)可知，数列中奇数项成等差，公差为\(2\)；偶数项成等差，公差为\(2\)；

⑨由\(\cfrac{a_{n+2}}{a_n}=2\)可知，数列中奇数项成等比，公比为\(2\)；偶数项成等比，公比为\(2\)；

廓清认知

• 求和第一步： 欲求和，先认清数列的通项公式，以\(a_n\)为“抓手”。

如数列\(1\)，\(\cfrac{1}{1+2}\)， \(\cfrac{1}{1+2+3}\)，\(\cdots\)，\(\cfrac{1}{1+2+3+\cdots+n}\)求和时，

必须首先认识到通项公式：\(a_n=\cfrac{1}{1+2+3+\cdots+n}\)，

• 求和第二步：认清结构，合理选择恰当的方法，

典例剖析

求和\(S_n=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\)；

分析:首先认清求和的数列的通项公式\(a_n=n\cdot2^n\)，是个差比数列，其中等比数列的公比为\(2\)，

下来按部就班的使用“错位相减法”求和就成了。解如下：

\[\begin{equation} S_n=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\label{1} \end{equation} \]

\[\begin{equation} 2S_n=1\cdot2^2+2\cdot2^3+\cdots+(n-1)\cdot2^n+n\cdot 2^{n+1}\label{2} \end{equation} \]

具体的错位方法如下图说明：

错位相减法图示

第一部分	第二部分	第三部分[关键+重点]	第四部分
\(S_n=\)	\(1\cdot 2+\)	\(2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+n\cdot 2^n\)	\(+0\quad\quad\quad\quad①\)
\(2S_n=\)	\(0+\)	\(1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots+(n-1)\cdot 2^n\)	\(+n\cdot2^{n+1}\quad ②\)
\(1\)项	\(1\)项	\((n-1)\)项	\(1\)项

(1)-(2)得到：

\[\begin{equation} -S_n=1\cdot2+[1\cdot2^2+1\cdot2^3+\cdots+1\cdot2^n]-n\cdot2^{n+1}\label{3} \end{equation} \]

再次整理为

\[\begin{equation} -S_n=\cfrac{2\cdot(1-2^n)}{1-2}-n\cdot2^{n+1}\label{4} \end{equation} \]

最后整理为

\[S_n=(n-1)\cdot2^{n+1}+2 \]

结果化简

到底化简到什么程度就可以停下来了？

这涉及到合并同类项的问题，比如题目中的单项式和单项式合并，多项式和多项式合并，指数式和指数式合并，对数式和对数式合并即可。

综合题目

【2022届高三文科二轮定时训练题】已知各项均为正数的数列 \(\{a_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_{n}\)，且满足 \(a_{1}^{3}\)\(+\)\(a_{2}^{3}\)\(+\)\(a_{3}^{3}\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\(a_{n}^{3}\)\(=\)\(S_{n}^{2}\)\(+\)\(2 S_{n}\)， 设 \(b_{n}=\cfrac{a_{n}}{2^{n}}\)， 数列 \(\{b_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(T_{n}\)， 则使得 \(T_{n}<m\) 成立的最小的 \(m\) 的值为_________.

〔审题分析〕：\(\Leftarrow\) \(T_{n}<m\) 成立的最小的 \(m\) 的值，属于不等式恒成立问题；

\(\Leftarrow\) 求解数列 \(T_n\) 的最大值或最大值的极限；

\(\Leftarrow\) 求解数列 \(b_n\) 的通项公式，观察 \(b_n\) 的结构，猜测其可能是差比数列，则要使用错位相减法求和；

\(\Leftarrow\) 求数列 \(a_n\) 的通项公式，结合已知条件的结构特征；

\(\Leftarrow\) 利用 \(a_n\) 与 \(S_n\) 的关系求解 \(a_n\)；

〔具体解析〕： 由 \(a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}+\cdots+a_{n}^{3}=S_{n}^{2}+2 S_{n}\)，

得 \(a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}+\cdots+a_{n-1}^{3}=S_{n-1}^2+2 S_{n-1}(n \geqslant 2)\)， 两式相减得

\(a_{n}^{3}=S_{n}^2+2 S_{n}-S_{n-1}^{2}-2 S_{n-1}=a_{n}(S_{n}+S_{n-1})+2a_{n}(n \geqslant 2)\)

由于\(a_{n}>0\)， \(a_{n}^2=S_{n}+S_{n-1}+2(n\geqslant 2)\)，

所以\(a_{n-1}^{2}=S_{n-1}+S_{n-2}+2(n \geqslant 3)\)，

两式相减得， \(a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}=a_{n}+a_{n-1}(n\geqslant 3)\)，

由于\(a_{n}>0\)，则得到 \(a_{n}-a_{n-1}=1(n\geqslant 3)\)注意，此时还不能判断数列 \(\{a_n\}\) 为等差数列，还差一个 \(a_{2}\)\(-\)\(a_{1}\)\(=\)\(1\)的验证，故接下来是计算验证\(a_{2}\)\(-\)\(a_{1}\)是否等于\(1\)，若等于就是等差数列，若不等于就不是等差数列；，

又当 \(n=1\) 时，有 \(a_{1}^{3}=S_{1}^{2}+2 S_{1}\)；

当 \(n=2\) 时，有 \(a_{1}^{3}+a_{2}^{3}=S_{2}^{3}+2 S_{2}\)

解得 \(a_{1}=2\)， \(a_{2}=3\) ，\(a_{2}-a_{1}=1\)，

故数列 \(\{a_{n}\}\) 是首项为 \(2\) 公差为 \(1\) 的等差数列，

所以，\(a_{n}=2+(n-1)=n+1\) ，\(b_{n}=\cfrac{n+1}{2^{n}}\)，

所以， \(T_{n}=\cfrac{2}{2^{1}}+\cfrac{3}{2^{2}}+\cfrac{4}{2^{3}}+\cdots+\cfrac{n+1}{2^{n}}\)，

\(\cfrac{1}{2}T_{n}=\cfrac{2}{2^{2}}+\cfrac{3}{2^{3}}+\cfrac{4}{2^{4}}+\cdots+\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)，

两式相减得， \(\cfrac{1}{2}T_{n}=1+\cfrac{1}{2^{2}}+\cfrac{1}{2^{3}}+\cdots+\cfrac{1}{2^{n}}-\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)，

\(=1+\cfrac{\cfrac{1}{2^{2}}[1-(\cfrac{1}{2})^{n-1}]}{1-\cfrac{1}{2}}-\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)，

\(=1+\cfrac{1}{2}[1-(\cfrac{1}{2})^{n-1}]-\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)

\(=1+\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2^n}-\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)

\(=\cfrac{3}{2}-\cfrac{2}{2^{n+1}}-\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)

\(=\cfrac{3}{2}-\cfrac{n+3}{2^{n+1}}\)，

所以，\(T_{n}=3-\cfrac{n+3}{2^{n}}<3\)，故 \(T_n\) 的最小值的极限为 \(3\)，

故要使得 \(T_{n}<m\) 恒成立，则 \(m\geqslant 3\)，即 \(m\) 的最小值为 \(3\) .

〔解后反思〕本题目综合程度比较高，涉及类型：① 由 \(a_n\) 与 \(S_n\) 的关系求解 \(a_n\)；②等差数列的判定；③等差数列的通项公式；④差比数列；⑤错位相减法；⑥放缩法；⑦恒成立命题；

对应练习

【2018安徽淮南一模】已知数列\(\{a_n\}\)为等差数列，且\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=\cfrac{2}{3}b_n+\cfrac{1}{3}\)，

(1).求数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)的通项公式；

提示：\(a_n=2n-1\)，\(b_n=(-2)^{n-1}\)；

(2).设\(c_n=a_n\cdot |b_n|\)，求数列\(\{c_n\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)；

提示：\(c_n=(2n-1)2^{n-1}\)，\(T_n=(2n-3)2^n+3\)；

已知等比数列\(\{a_n\}\)的各项都为正数，且当\(n\ge 3\)时，\(a_4\cdot a_{2n-4}=10^{2n}\)，则数列\(lga_1\)，\(2lga_2\)，\(2^2lga_3\)，\(2^3lga_4\)，\(\cdots\)，\(2^{n-1}lga_n\)的前\(n\)项和\(S_n\)等于_________。

提示：\(a_n=10^n\)，通项\(b_n=2^{n-1}lga_n=n\cdot 2^{n-1}\)，差比数列，\(S_n=(n-1)\cdot 2^n+1\)；