由 $a_{n+1}=2a_n$ 能得到等比数列吗

前言

回顾一：若数列变形中出现，\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，则我们不能立即得到\(\cfrac{a_{n+1}+1}{a_n+1}=2\) ，也不能认为数列 \(\{a_n+1\}\) 为等比数列，此时必须验证其首项 \(a_1+1\)是否为 \(0\)，若\(a_1+1\neq0\)，则数列 \(\{a_n+1\}\)可以构成等比数列；若 \(a_n+1=0\)，则会导致此数列的各项都为 \(0\)，而各项为 \(0\) 的常数列只能是等差数列，不能构成等比数列。

回顾二：对于数列题目中出现的形如 \(a_{n+1}=2\cdot a_n+3n+2\) 的，即\(a_{n+1}=f(n，a_n)\)，其构造变形方向如下：

假设\(a_{n+1}+A(n+1)+B=2(a_n+An+B)\)，解得\(A=3\)，\(B=5\)，

即\(a_{n+1}+3(n+1)+5=2(a_n+3n+5)\)，构造得到\(\{a_n+3n+5\}\)为等比数列[当然还需要验证\(a_1+3\times1+5\neq0\)]；

典例剖析

已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n+1}=2a_n+3n+1\)且\(a_1=1\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。

分析：设\(a_{n+1}+p(n+1)+q=2(a_n+pn+q)\)，打开整理得到，\(p=3\)，\(q=4\)，

整理都得到\(a_{n+1}+3(n+1)+4=2(a_n+3n+4)\)，

由首项\(a_1+3\cdot 1+4=8\neq 0\) ，故数列\(\{a_n+3n+4\}\)是首项为 \(8\)，公比为 \(2\) 的等比数列，

故\(a_n+3n+4=8\cdot 2^{n-1}\)，故\(a_n=2^{n+2}-3n-4(n\in N^*)\)。

反例强化

【2020 \(\cdot\) 全国卷Ⅲ】设数列 \(\{a_{n}\}\) 满足 \(a_{1}=3\)， \(a_{n+1}=3 a_{n}-4 n\).

(1). 计算 \(a_{2}\)， \(a_{3}\)， 猜想 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式并加以证明；

解: (1) \(a_{2}=5\)， \(a_{3}=7\). 猜想 \(a_{n}=2 n+1\).

证明如下：由题目 \(a_{n+1}=3a_{n}-4n\)，借助待定系数法可得：

\[a_{n+1}-(2n+3)=3\left[a_{n}-(2n+1)\right] \]

\[a_{n}-(2n+1)=3\left[a_{n-1}-(2n-1)\right] \]

\[\cdots,\cdots \]

\[a_{3}-7=3(a_{2}-5) \]

\[a_{2}-5=3(a_{1}-3) \]

因为 \(a_{1}=3\)， 所以 \(a_{n}=2 n+1\). ^[1]

【解后反思】1、当然，这个题目也可以用 数学归纳法 来证明，给各位学子留个作业。

2、错误：本题目不能写成 \(\cfrac{a_{n+1}-(2n+3)}{a_n-(2n+1)}\) \(=\) \(3\) ，也不能认为数列 \(\{a_n-(2n+1)\}\) 为等比数列，由于其首项 \(a_1\) \(-\) \(3\) \(=\) \(0\)，这样导致此数列 \(\{a_n-(2n+1)\}\) 的各项都为 \(0\)，就会出现 \(\cfrac{a_{n+1}-(2n+3)}{a_n-(2n+1)}\) \(=\) \(\cfrac{0}{0}\) \(=\) \(3\) 的形式，明眼人一看就是错误的，故不能构成等比数列。在教学实践中，学生最容易犯错的地方就是碰到形如 \(a_{n+1}\) \(=\) \(q\) \(\cdot\) \(a_{n}\) 的不等式，立马联系到能转化为 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\) \(=\) \(q\)，就快速反应出数列 \(\{a_{n}\}\) 是等比数列。其实此处的整式写成分式的转化是不等价转化，原因是出现分母为零的错误了。而高考命题人高明就高明在，恰恰能抓住学生学习中的这一弱点来命题考查。

(2). 求数列 \(\{2^{n} a_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_{n}\).

解：由 (1) 得 \(2^{n} a_{n}\) \(=\) \((2n+1)\) \(\cdot\) \(2^{n}\) ，显然数列 \(\{(2n+1)\) \(\cdot\) $2^{n}} 是差比数列，可以用错位相减法求和。

所以 \(S_{n}=3\times 2+5\times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n+1) \times 2^{n}\). ①

从而 \(2S_{n}=3\times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n+1) \times 2^{n+1}\). ②

①-②得， \(-S_{n}=3 \times 2+2 \times 2^{2}+2 \times 2^{3}+\cdots+2 \times 2^{n}-(2 n+1) \times 2^{n+1}\)，

\(=6+2\times\cfrac{2^{2} \times(1-2^{n-1})}{1-2}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}\)，

\(=6+2^{n+2}-8-(2n+1)\cdot 2^{n+1}=(1-2n) \cdot 2^{n+1}-2\)，

所以 \(S_{n}=(2 n-1) 2^{n+1}+2\).

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1. 由于以上的这些表达式，从下往上看，\(a_2-5\) \(=\) \(3(a_1-3)\) \(=\) \(0\)，所以 \(a_2=5\)，再代入倒数的第二个式子，得到 \(a_3=7\) ，以此类推，以上这一组式子的右边都是 \(0\)，故说明正数的第二个式子应该是 \(a_n\) \(-\) \((2n+1)\) \(=\) \(0\) ， 故 \(a_n=2n+1\)，到此证明完毕。 ↩︎