待定系数法

前言

当已知了函数的类型，比如一次函数(需要知道两个点的坐标)、二次函数(需要知道三个点的坐标)、指数函数(需要知道一个点的坐标)、对数函数(需要知道一个点的坐标)、幂函数(需要知道一个点的坐标)等等，我们就可以用待定系数法求解析式了。

其中三角函数中，求正弦型函数 \(f(x)=Asin(\omega x+\phi)+b\) 的解析式，也属于待定系数法；

待定系数法

• 操作说明：适用于已知函数的类型， 比如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；

已知一次函数\(f(x)\)满足条件\(f(f(x))=x+2\)，求\(f(x)\)的解析式；

分析：由于函数\(f(x)\)是一次函数，故我们可以合理的设函数\(f(x)=ax+b\)，

则\(f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b=x+2\)，

故有\(a^2=2\)，\(ab+b=1\)，

解得\(a=1，b=1\)，故所求为\(f(x)=x+1\)；

如图定义在\([-1，+\infty)\)上的函数\(f(x)\)的图像由一条线段和抛物线的一部分组成，则\(f(x)\)的解析式为____________.

分析：当\(-1\leqslant x\leqslant 0\)时，设解析式为\(y=kx+b(k\neq 0)\)，则\(\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.\)，

解得\(\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.\)，即\(y=x+1\)，

当\(x>0\)时，设解析式为\(y=a(x-2)^2-1(a\neq 0)\)，由于图像过\((4，0)\)，

代入解得\(a=\cfrac{1}{4}\)，即\(y=\cfrac{1}{4}(x-2)^2-1\)，

综上所述，函数的解析式为\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+1,-1\leqslant x \leqslant 0}\\{\cfrac{1}{4}(x-2)^2-1,x>0}\end{array}\right.\)

已知二次函数\(f(x)\)满足\(f(2)=-1\)，\(f(-1)=-1\)，且\(f(x)\)的最大值是\(8\)，试确定此二次函数的解析式。

法1：一般式，设\(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)，

由题意得\(\begin{cases}4a+2b+c=-1\\a-b+c=-1\\ \cfrac{4ac-b^2}{4a}=8\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a=-4\\b=4\\c=7\end{cases}\)，

故\(f(x)=-4x^2+4x+7\)。

法2：顶点式，设\(f(x)=a(x-m)^2+n\)，由题意得\(n=8\)，又\(f(2)=f(-1)\)，

故函数的对称轴是\(x=\cfrac{2+(-1)}{2}=\cfrac{1}{2}\)，故\(m=\cfrac{1}{2}\)。

则\(y=f(x)=a(x-\cfrac{1}{2})^2+8\)，

又\(f(2)=-1\)，\(a(2-\cfrac{1}{2})^2+8=-1\)，

解得\(a=-4\)，故\(f(x)=-4x^2+4x+7\)。

法3：两根式(零点式)，由已知\(f(x)+1=0\)的两根\(x_1=2\)，\(x_2=-1\)，

故可设\(f(x)+1=a(x+1)(x-2)\)，即\(f(x)=ax^2-ax-2a-1\)，

又函数\(f(x)_{max}=8\)，即\(\cfrac{4a(-2a-1)-a^2}{4a}=8\)，

解得\(a=-4\)或\(a=0(舍去)\)，故\(f(x)=-4x^2+4x+7\)。

[2018中考数学]已知反比例函数过点\((m，m)\)和点\((2m，-1)\)，求其解析式。

分析：设反比例函数的解析式为\(y=\cfrac{k}{x}(k\neq 0)\)，则由反比例函数过点\((m，m)\)和点\((2m，-1)\)，

可知\(k=m^2=-2m\)，解得\(m=0\)(舍去)或\(m=-2\)，即\(k=m^2=4\)，

故反比例函数解析式为\(y=\cfrac{4}{x}\)。

【2017•青岛模拟改编】设函数\(f(x)＝ax－\cfrac{b}{x}\)，曲线\(y＝f(x)\)在点\((2，f(2))\)处的切线方程为\(7x\)\(－\)\(4y\)\(－\)\(12\)\(＝0\)。求\(f(x)\)的解析式；

分析：由于点\((2,f(2))\)既在曲线上，也在切线上，故借助切线方程\(7x－4y－12＝0\)可以求得\(f(2)=\cfrac{1}{2}\)；

则由点\((2,\cfrac{1}{2})\)在曲线上，则有\(2a－\cfrac{b}{2}＝\cfrac{1}{2}\)①；

又由于切线方程\(7x－4y－12＝0\)可化为\(y＝\cfrac{7}{4}x－3\)，即\(k=\cfrac{7}{4}\)，

由\(f'(x)＝a＋\cfrac{b}{x^2}\)，得到\(f'(2)=a＋\cfrac{b}{4}＝\cfrac{7}{4}\)②，

联立①②解得\(a＝1，b＝3\)，

故\(f(x)＝x－\cfrac{3}{x}\)。

典例剖析

【2018安徽合肥模拟】【综合应用】已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_2=4\)，\(a_{n+2}\)\(+\)\(2a_n\)\(=\)\(3a_{n+1}\)\((n\in N^*)\)，求数列的通项公式。

分析：用待定系数法，设 \(a_{n+2}+pa_{n+1}=k(a_{n+1}+pa_n)\)这样的设法有没有合理性，能不能这样设，是每个欲弄懂该问题的学生急于想知道的，这样是有合理性的，如果这样的设置有问题，那么最后一定会通过方程组无解的形式反应出来。同样如何合理，方程组就一定是有解的。 ，\(k，p\in R\)，

整理得到$$a_{n+2}-kp\cdot a_n=(k-p)a_{n+1}$$

比照$$a_{n+2}+2a_n=3a_{n+1}$$

得到\(kp=-2\)，\(k-p=3\)，

解得\(\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{p=-1}\end{array}\right.\)，或\(\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{p=-2}\end{array}\right.\)，

在具体题目中，我们取其中一组解即可；每一组解对于一种变形；

【法1】：当\(k=2\)，\(p=-1\)时，已知式变形为\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\)，

即意味着这样变形：由\(a_{n+2}+2a_n=3a_{n+1}\)，

得到\(a_{n+2}+2a_n=2a_{n+1}+a_{n+1}\)，

即\(a_{n+2}-a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n\)，

即\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\)，

又\(a_2-a_1=3\neq 0\)，即数列\(\{a_{n+1}-a_n\}\)是以\(a_2-a_1=3\)为首项，以\(2\)为公比的等比数列，

则\(a_{n+1}-a_n=3\times 2^{n-1}\)，接下来求\(a_n\)，使用累加法。

过程省略，可以求得\(a_n=3\times 2^{n-1}-2(n\in N^*)\)。

【法2】：当\(k=1\)，\(p=-2\)时，已知式变形为\(a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n\)，

即意味着这样变形：由\(a_{n+2}+2a_n=3a_{n+1}\)，

得到\(a_{n+2}+2a_n=2a_{n+1}+a_{n+1}\)，

即\(a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n\)，

又\(a_2-2a_1=2\)，即数列\(\{a_{n+1}-2a_n\}\)是以\(a_2-2a_1=2\)为首项，以\(0\)为公差的等差数列，

则\(a_{n+1}-2a_n=2+(n-1)\times 0=2\)，接下来求\(a_n\)，再次使用待定系数法。

\(a_{n+1}-2a_n=2\)，得到\(a_{n+1}=2a_n+2\)，

\(a_{n+1}+2=2(a_n+2)\)，故数列\(\{a_n+2\}\)是以\(a_1+2=3\)，以\(2\)为公比的等比数列；

故\(a_n=3\times 2^{n-1}-2(n\in N^*)\)。

【法3】：方程思想，由上可知，$$a_{n+1}-a_n=3\times 2^{n-1}①，$$

\[a_{n+1}-2a_n=2② \]

联立解以\(a_{n+1}\)和\(a_n\)为元的二元一次方程组，解得\(a_n=3\times 2^{n-1}-2\) (\(n\in N^*\)) .

【2010江苏高考理科数学第12题】设实数 \(x\)， \(y\) 满足 \(3 \leqslant xy^{2} \leqslant 8\)，\(4 \leqslant \cfrac{x^{2}}{y} \leqslant 9\)， 则 \(\cfrac{x^{3}}{y^{4}}\) 的最大值是_____.

分析： 估计你能猜想到不能使用一级运算，最起码要使用二级运算，但是尝试后又发现行不通，故我们将已知条件做个变形，\(3 \leqslant xy^{2} \leqslant 8\)，\(4 \leqslant x^{2}y^{-1} \leqslant 9\)，将代求转化为 \(x^3y^{-4}\)，这样就可以转化为指数位置的一级运算了，比如先得到 \(3^m\)\(\leqslant\)\((xy^{2})^m\)\(=\)\(x^{m}y^{2m}\)\(\leqslant\)\(8^m\)，\(4^n\)\(\leqslant\)\((x^{2}y^{-1})^n\)\(=\)\(x^{2n}y^{-n}\)\(\leqslant\)\(9^n\)，这样我们只需要考虑 \(x^{m}y^{2m}\cdot x^{2n}y^{-n}\)\(=\)\(x^{m+2n}y^{2m-n}\)\(=\)\(x^3y^{-4}\)，即 \(m+2n=3\) 且 \(2m-n=-4\) 的问题了，解得\(m=-1\)，\(n=2\) ，故解题一开始应该考虑的是三级运算。

解析：使用待定系数法，给 \(3 \leqslant xy^{2} \leqslant 8\)，同时 \(-1\) 次方，得到 \(8^{-1}\)\(\leqslant\)\((xy^{2})^{-1}\)\(=\)\(x^{-1}y^{-2}\)\(\leqslant\)\(3^{-1}\)，

\(4 \leqslant x^{2}y^{-1} \leqslant 9\)，同时 \(2\) 次方，得到 \(4^2\)\(\leqslant\)\((x^{2}y^{-1})^2\)\(=\)\(x^{4}y^{-2}\)\(\leqslant\)\(9^2\)，

两个同向不等式相乘得到， \(\cfrac{1}{8}\times 16\leqslant x^{-1}y^{-2}\times x^{4}y^{-2}\leqslant \cfrac{1}{3}\times 81\)，

即 \(2\leqslant x^3y^{-4}\leqslant 27\)，即 \(2\leqslant \cfrac{x^3}{y^4}\leqslant 27\)，故所求的最大值为 \(27\) .

【2024高一数学联考题改编】设 \(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)为平面内不共线的两个单位向量，\(\vec{a}=2\vec{e_1}+\vec{e_2}\)，\(\vec{b}=\vec{e_1}-3\vec{e_2}\)，\(\vec{c}=5\vec{e_1}+6\vec{e_2}\)， 以\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)为基底表示 \(\vec{c}\) .

解析：利用待定系数法求解，设 \(\vec{c}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}\)，

即 \(\lambda(2\vec{e_1}+\vec{e_2})+\mu(\vec{e_1}-3\vec{e_2})=5\vec{e_1}+6\vec{e_2}\)，

即 \((2\lambda+\mu)\vec{e_1}+(\lambda-3\mu)\vec{e_2}=5\vec{e_1}+6\vec{e_2}\)，

故 \(2\lambda+\mu=5\)，\(\lambda-3\mu=6\)，解得 \(\lambda=3\)，\(\mu=-1\)，

故 \(\vec{c}=3\vec{a}-\vec{b}\) .