valar-morghulis

摘要： 我们在普通的几何学研究中，通常面对的都是整数维的图形，如一维的线、二维的面、三维的体。然而在1918年，德国的数学家豪斯多夫（Hausdorff）提出了“分数维”的概念。半个世纪以后，法国的数学家芒德布罗（D. Mandelbrot）创造出了分形（fractal）一词，词根是拉丁语fractus（破 阅读全文

摘要： 在圆周上独立地随机选取n个点，那么这n个点可以被半圆周覆盖的概率是多少呢？我们可以先思考这样的一件事，如果我们已经选取了n-1个点，且这n-1个点可以被半圆周覆盖。我们可以将这n-1个点与圆心连线，得到n-1条线段（如图一），我们不妨把这n-1条线段所成夹角的最大值记为\(α_{n-1}\)。延长形 阅读全文

摘要： 例：设 f(x) 在 [a, b] 上可微, 且 f′∈R([a, b]), 则存在M，对于任意x,y∈[a, b]使得 $ |f(y)-f(x)|≤M|y-x|^{1/2}$ 法1：令\(M=(∫^b_a|f'(t)|^2dt)^{1/2}\) $ |f(y)-f(x)|=|∫^y_xf'(t)d 阅读全文

摘要： 设f(x)和g(x)都在[a,b]上可积，则 $[∫_a^bf(x)g(x)dx]^2≤∫_a^bf^2(x)dx∫_a^bg^2(x)dx$ 证明；对于任意的实数t，显然\([tf(x)+g(x)]^2在[a,b]上可积，且tf(x)+g(x)]^2≥0\)，则 $[∫_a^b[tf(x)+g(x 阅读全文

摘要： \(设a_n=1/n^q，S_n=a_1+a_2+...+a_n，\) 当q=1时，取ε=1/2，则\(lim_{n→∞}sup_{p>0}|S_{n+p} -S_n|≥S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}≥1/2>0\) 阅读全文

摘要： 设f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上可积且不变号，则存在ξ∈[a,b]，使得 $∫^b_af(x)g(x)dx=f(ξ)∫^b_ag(x)dx$ 证明：不妨设g(x)≥0，因为f(x)在[a,b]上连续，故有最大值M和最小值m，于是在[a,b]上有 $mg(x)≤f(x)g(x)≤M 阅读全文

摘要： Throughout the 19th century mathematics became increasingly abstract. Carl Friedrich Gauss (1777–1855) epitomizes成为…的典范 this trend. He did revolutiona 阅读全文

摘要： 1) 首先证明i)推ii)成立 \(|A||A^{-1}|=1，且A和A^{-1}均为整矩阵，即|A|和|A^{-1}|均为整数，则|A|=±1.\) 再证明ii)推i)成立 \(设A的伴随矩阵为A*，由A为整矩阵得A*也为整矩阵，A^{-1}=|A|^{-1}A*，显然A^{-1}也为整矩阵\) 阅读全文

摘要： 最近阅读了《菊与刀》一书，深感日本人之神奇。全书的核心观点是日本人的耻文化。得到他人帮助，日本人会感到羞耻；与大众观点不同，日本人会感到羞耻；甚至一些传统的店家在感谢顾客时会说katajikenai，即“我很羞耻”，而不是一句简简单单的谢谢。正是这种耻文化，造就日本人看似矛盾的性格，他们既好斗又和善 阅读全文

摘要： The most influential mathematician of the 18th century was arguably可以说 Leonhard Euler. His contributions range from founding the study of graph theory 阅读全文