算法竞赛进阶指南 # 递推与递归 # 分型

题目链接

链接：AcWing 118. 分形

思路

不难发现，\(n\) 级图形的长度为 \(3^{n-1}\)，且 \(n\le 7 \implies 3^{n-1} < 10^3\)，于是可以开辟大小为 \(10^3\) 的二维布尔数组 \(a\) 与图形对应。

• 若 \(a[i][j]=0\)：表示该位置为空；
• 若 \(a[i][j]=1\)：表示该位置为 'X'。

设 \(n\) 级图形的长度为 \(m\)，则 \(n-1\) 级的图像长度

\[size=\frac{m}{3} \]

从左上角 \((x,y)=(0,0)\) 开始递归。 由于 \(n\) 级图形由 \(5\) 个 \(n-1\) 级图形构成，于是需要 \(5\) 个递归分支，分别对应 \(n-1\) 级问题的左上角坐标。

• 左上角：递归到 \((size, x,y)\)；
• 右上角：递归到 \((size, x, y + 2 \cdot size)\)；
• 中间：递归到 \((size, x + size, y + size)\)；
• 左下角：递归到 \((size, x + 2 \cdot size, y)\)；
• 右下角：递归到 \((size, x + 2 \cdot size, y + 2 \cdot size)\)。

当 \(size=1\) 时，递归到简单情况，设置 \(a[x][y]=1\) 即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

constexpr int N = 1010;

vector<vector<bool>> g(N, vector<bool>(N));

void dfs(int m, int x, int y) {
    if (m == 1) {
        g[x][y] = 1;
        return;
    }
    int size = m / 3;
    dfs(size, x, y);
    dfs(size, x, y + 2 * size);
    dfs(size, x + size, y + size);
    dfs(size, x + 2 * size, y);
    dfs(size, x + 2 * size, y + 2 * size);
}

int main() {
    int n;
    while (scanf("%d", &n) == 1 && n != -1) {

        for (int i = 0; i < N; i++)
            fill(g[i].begin(), g[i].end(), 0);

        int m = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++)
            m *= 3;

        dfs(m, 0, 0);

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                if (g[i][j]) putchar('X');
                else putchar(' ');
            }
            puts("");
        }
        puts("-");
    }
    return 0;
}

递归时间复杂度分析

长度 \(n\) 的问题于规模为 \(n-1\) 的关系满足

\[T(m) = 5T(\frac{m}{3}) + O(1) \]

忽略 \(O(1)\)，并展开 \(k\) 次，直到 \(m=1\)，于是

\[T(m) = 5T(\frac{m}{3}) = 5^2(\frac{m}{3 ^ 2}) = ... = 5^k(\frac{m}{3 ^ k}) \implies m = 3^k \implies k = \log_3{m} \]

于是

\[T(m) = 5^{\log_3{m}} \]

又 \(m = 3^{n-1}\)，于是

\[T(n)= O(5^{n-1}) \]

优化

注意观察图形，事实上，我们只需一次递归求出左上角图形的状态，然后根据分型规律，复制到其他 \(4\) 个部分即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

constexpr int N = 1010;

vector<vector<bool>> g(N, vector<bool>(N));

void dfs(int m) {
    if (m == 1) {
        g[0][0] = 1;
        return;
    }

    dfs(m / 3);
    int dx[] = {0, 1, 2, 2};
    int dy[] = {2, 1, 0, 2};
    int size = m / 3;
    for (int k = 0; k < 4; k++) {
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            for (int j = 0; j < size; j++) {
                g[i + dx[k] * size][j + dy[k] * size] = g[i][j];
            }
        }
    }
}

int main() {
    int n;
    while (scanf("%d", &n) == 1 && n != -1) {

        for (int i = 0; i < N; i++)
            fill(g[i].begin(), g[i].end(), 0);

        int m = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++)
            m *= 3;

        dfs(m);

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                if (g[i][j]) putchar('X');
                else putchar(' ');
            }
            puts("");
        }
        puts("-");
    }
    return 0;
}