算法竞赛进阶指南 # 前缀和 # IncDec 序列

题意概述

给定长度为 \(n\) 的数组 \(a\)，每次操作选择一个区间 \([l,r]\) 将 \(a\) 的所有元素加一或者减一。求最少操作次数使得 \(a\) 的每个元素相等，并求出在此前提下，有多少种不同的最终序列。

• 题目链接：增减序列

思路

设 \(d\) 为 \(a\) 的差分数组（从 \(1\) 开始），其中：

• \(d[1] = a[1]\)
• \(d[i] = a[i] - a[i-1]\)，\(2 \le i \le n\)

根据差分数组的定义，让 \(a\) 的全部元素相等等价于使 \(d[2,n]\) 都为 \(0\)，因此问题转换为使得 \(d[2,n]\) 全部为 \(0\) 的最小操作次数。

而对 \(a\) 的区间 \([l,r]\) 加 \(1\) 操作，也可转换为 \(d[l]\) 加 \(1\)，\(d[r+1]\) 减 \(1\)；减 \(1\) 操作转换为 \(d[l]\) 减 \(1\)，\(d[r+1]\) 加 \(1\)。

区间 \([l,r]\) 有 4 种选择策略：

1. \(2 \le l \le r \le n\)；
2. \(l = 1\)，\(2 \le r \le n\)；
3. \(2 \le l \le n\)，\(r = n\)；
4. \(l = 1\)，\(r = n\)。

要使 \(d[2,n]\) 全为 \(0\) 的操作次数最少，应尽可能使用策略 1，让正负数配对抵消。设 \(pos\) 为 \(d[2,n]\) 中所有正数之和，\(neg\) 为所有负数绝对值之和。用策略 1 可以配对 \(\min(pos, neg)\) 次，剩余 \(|pos - neg|\) 个单种符号，需要用策略 2 或策略 3 消去。

因此最少操作次数为：

\[\min(pos, neg) + |pos - neg| = \max(pos, neg) \]

对于最终序列的种类数，根据差分定义，等价于当 \(d[2,n]\) 全为 \(0\) 时，\(a[1]\) 的不同取值数量。即在执行完策略 3 之后，策略 2 可以执行的最大次数：

\[|pos - neg| + 1 \]

参考例程如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    ll pos = 0, neg = 0;
    int last;
    cin >> last; 
    
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        int d = x - last;
        if (d > 0) pos += d;
        else if (d < 0) neg -= d;
        last = x;
    }
    
    cout << max(pos, neg) << '\n';
    cout << abs(pos - neg) + 1 << '\n';
    
    return 0;
}