算法竞赛进阶指南 # 递推 & 递归 # 约束之和

求 \(A^B\) 的所有约数之和 \(S \bmod 9901\) 的值。

• 测试链接：约数之和

根据算术基本定理，每个正整数可以被唯一分解为若干质因数的幂的乘积，那么：

\[A=p_{1}^{a_{1}} \times p_{2}^{a_{2}} \times \dots \times p_{k}^{a_{k}} \]

因此：

\[A^B=p_{1}^{B\cdot a_{1}} \times p_{2}^{B\cdot a_{2}} \times \dots \times p_{k}^{B\cdot a_{k}} \]

又由于约数和定理，那么 \(A^B\) 的约数和可以被写成：

\[(1+p_{1}^1+p_{1}^{2}+\dots p_{1}^{B\cdot a_{1}})(1+p_{2}^1+p_{2}^{2}+\dots p_{2}^{B\cdot a_{2}})\dots (1+p_{1}^1+p_{1}^{2}+\dots p_{k}^{B\cdot a_{k}}) \]

不难发现，每个括号都是一个关于某个质因数的等比数列。但由于等比数列求和需要做除法，而计算过程中需要 \(\bmod 9901\)，于是我们考虑通过分治求等比数列和。

设 \(\sum(p,c)=1+p^0+p^1+\dots p^{c}\)

• 若 \(c\) 为奇数，则：

\[\sum(p,c)=\left( 1+p^0+p^1+\dots +p^{\frac{c-1}{2}} \right)+\left( p^{\frac{c+1}{2}}+p^{\frac{c+1}{2}+1}+\dots+p^c \right)=\sum\left( p, \frac{{c-1}}{2} \right)\left( 1+p^\frac{{c+1}}{2} \right) \]

• 若 \(c\) 为偶数，则：

\[\sum(p,c)=\sum\left( p, \frac{c}{2}-1 \right)\left( 1+p^\frac{c}{2} \right) +p^c \]

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 9901;

int qmi(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = 1ll * res * a % mod;
        a = 1ll * a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int sum(int p, int c) {
    if (c == 0) return 1;
    if (c % 2) return sum(p, (c - 1) / 2) * (1 + qmi(p, (c + 1) / 2)) % mod;
    return sum(p, c / 2 - 1) * (1 + qmi(p, c / 2)) % mod + qmi(p, c) % mod; 
}

int main() {
    int A, B;
    cin >> A >> B;
    if (A == 0) {
        cout << 0;
        return 0;
    }
    unordered_map<int, int> prs;
    int x = A;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++) {
        while (x % i == 0) {
            prs[i] ++;
            x /= i;
        }
    }
    if (x > 1) prs[x] ++;
    int ans = 1;
    for (auto& [p, c] : prs) {
        ans = ans * sum(p, c * B) % mod;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}