大臣的旅费

大臣的旅费

很久以前，T 王国空前繁荣。

为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。

为节省经费，T 国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。

同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。

J 是 T 国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。

所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了 J 最常做的事情。

他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。

聪明的 J 发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关。

具体来说，一段连续的旅途里，第 1 千米的花费为 11，第 2 千米的花费为 12，第 3 千米的花费为 13，…，第 x 千米的花费为 x+10。

也就是说，如果一段旅途的总长度为 1 千米，则刚好需要花费 11，如果一段旅途的总长度为 2 千米，则第 1 千米花费 11，第 2 千米花费 12，一共需要花费 11+12=23。

J 大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？

输入格式

输入的第一行包含一个整数 n，表示包括首都在内的 T 王国的城市数。

城市从 1 开始依次编号，1 号城市为首都。

接下来 n−1 行，描述 T 国的高速路（T 国的高速路一定是 n−1 条）。

每行三个整数 Pi,Qi,Di，表示城市 Pi 和城市 Qi 之间有一条双向高速路，长度为 Di 千米。

输出格式

输出一个整数，表示大臣 J 最多花费的路费是多少。

数据范围

1≤n≤10^5
1≤Pi,Qi≤n
1≤Di≤1000

输入样例：

5
1 2 2
1 3 1
2 4 5
2 5 4

输出样例：

135

题解

通过题目给出信息，可知，任意两个城市之间都可以达到，并且任意路径唯一。所以，所有的城市构成了一颗树，题目要求最大路径花费就相当于是求出该树最大路径长度。那么可以将问题转换为求树的直径的问题。

该树没有负权边，那么可以使用两次 DFS/BFS 实现：

算法流程：

• 选择任意一个点 x，通过 DFS/BFS 搜索出所有点到该点的距离，找到距离该点远的节点 y。
• 在使用 DFS/BFS 以 y 为起始节点，找到距离点 y 最远的节点，那么，y 到该点的路径就是该树的直径。

该算法一定可以找到树的直径，考虑下图的两种情况即可：

图一：

图二：

需注意：最后需要将最长路径转换为最多的花费，因为走第 x 千米，需要花费 x + 10，那么走 s 千米需要花费 10 * s + (1 + s) * s / 2。
代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;

const int N = 100010;
int h[N], e[N * 2], ne[N * 2], w[N * 2], idx;
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

void dfs(int u, int fa, int d) {
    dist[u] = d;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (j != fa) {
            dfs(j, u, d + w[i]);
        }
    }
}
void bfs(int u) {
    queue<int> q;
    q.push(u);
    st[u] = true;
    dist[u] = 0;
    while (q.size()) {
        int t = q.front();
        q.pop();
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (!st[j]) {
                st[j] = true;
                q.push(j);
                dist[j] = dist[t] + w[i];
            }            
        }
    }
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 1; i < n; i ++ ) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
        add(b, a, c);
    }

    // dfs(1, -1, 0);
    bfs(1);
    int x = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        if (dist[i] > dist[x]) x = i;
    }
    // dfs(x, -1, 0);
    memset(st, 0, sizeof st);
    bfs(x);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        if (dist[i] > dist[x]) x = i;
    }
    cout << 10 * dist[x] + dist[x] * (dist[x] + 1ll) / 2 << endl;
    return 0;
}