东方博宜OJ 1424：自然数的分解 ← DFS

​【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P2404
https://oj.czos.cn/p/1424

【题目描述】
给定自然数 n，将其拆分成若干自然数的和。输出所有解，每组解中数字按从小到大排列。相同数字的不同排列算一组解。
如，读入整数 3，分解方案如下：

1+1+1  
1+2

再比如，读入整数 7，分解方案如下：

1+1+1+1+1+1+1
1+1+1+1+1+2
1+1+1+1+3
1+1+1+2+2
1+1+1+4
1+1+2+3
1+1+5
1+2+2+2
1+2+4
1+3+3
1+6
2+2+3
2+5
3+4

【输入格式】
一个整数 n（n≤20）；

【输出格式】
n 可以分解的自然数和的方案；

【输入样例】
3

【输出样例】
1 1 1  
1 2

【数据范围】
n≤20

【算法分析】
● 这个 dfs(int sum, int step) 函数设计了‌“分解步骤”‌和“‌枚举加数”‌两个核心操作。
首先，考虑一个数值的拆分问题。比如要拆分整数n，每次枚举一个要减去的数字 i，作为拆分的一部分。枚举时，为了不产生如“1+2”和“2+1”这种仅仅是顺序不同的重复结果，函数使用了一个关键技巧：‌枚举下一个加数时，起点从上一个加数开始‌。这保证了所有加数序列都是非递减的，从而避免重复。
其次，从“剩余数值”的角度去理解递归过程会更直观。函数参数 sum 代表当前的“余额”，而 step 记录当前是第几个加数。每层递归的主要工作是根据规则枚举加数。如果找到一个加数i使余额 sum 恰好减到 0，就输出一组解；否则用新的余额继续递归。

● 这个 dfs(int sum, int step) 函数的思路，本质上是在构建一棵‌“搜索树‌”，每一次选择（即加数 i）都会生成一条新的分支。递归的“深度”对应着拆分出的加法项数，而“回溯”操作（sum+=i）则是在完成一条路径的探索后，撤销上一步的选择，以便在同层尝试其他可能的分支。通过这种方式，函数系统地枚举了所有符合规则的加数组合，最终得到所有拆分方案。

● 下面代码，是“洛谷 P2404：自然数的拆分问题”（https://www.luogu.com.cn/problem/P2404）的代码。将其中的 cout<<a[i]<<"+"; 改为 cout<<a[i]<<" "; 便可适用于本题。

【算法代码一】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=25;
int a[maxn];

void print(int step) {
    for(int i=1; i<step-1; i++) {
        cout<<a[i]<<"+";
    }
    cout<<a[step-1]<<endl;
}

void dfs(int sum, int step, int start) {
    if(sum==0) {
        if(step>2) print(step);
        return;
    }

    for(int i=start; i<=sum; i++) {
        a[step]=i;
        dfs(sum-i,step+1,i);
    }
}

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    dfs(n,1,1);

    return 0;
}

/*
in:
5

out:
1+1+1+1+1
1+1+1+2
1+1+3
1+2+2
1+4
2+3
*/

【算法代码二】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=25;
int a[maxn];
int n;

void print(int step) {
    for(int i=1; i<step; i++) {
        cout<<a[i]<<"+";
    }
    cout<<a[step]<<endl;
}

//sum为剩余数值，step为当前拆分的步数
void dfs(int sum, int step) {
    for(int i=a[step-1]; i<=sum; i++) {
        if(i<n) {
            a[step]=i;
            sum-=i;
            if(sum==0) print(step);
            else dfs(sum, step+1);
            sum+=i;
        }
    }
}

int main() {
    a[0]=1;
    cin>>n;
    dfs(n,1);

    return 0;
}

/*
in:
7

out:
1+1+1+1+1+1+1
1+1+1+1+1+2
1+1+1+1+3
1+1+1+2+2
1+1+1+4
1+1+2+3
1+1+5
1+2+2+2
1+2+4
1+3+3
1+6
2+2+3
2+5
3+4
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/118736059
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/156323183
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/156341089
https://blog.csdn.net/weixin_43615816/article/details/115421319
https://www.cnblogs.com/tflsnoi/p/13689306.html
 

​