复旦大学2025--2026学年第二学期（25级）高等代数II期末考试第七大题解答

七、(10 分) 设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵, 证明: 存在 $n$ 阶非异阵 $P$, 使得 $AP+PA=O$ 的充要条件是 $A$ 的 Jordan 标准型为
$$\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\lambda_1),J_{r_1}(-\lambda_1),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k),J_{r_k}(-\lambda_k),J_{s_1}(0),\cdots,J_{s_t}(0)\},$$

其中 $\lambda_i\neq 0\,(1\leq i\leq k)$.

证明  注意到存在 $n$ 阶非异阵 $P$, 使得 $AP+PA=O$ 等价于 $P^{-1}AP=-A$, 即 $A$ 与 $-A$ 相似. 先证明一个引理.

引理  $-J_r(\lambda_0)$ 相似于 $J_r(-\lambda_0)$.

引理的证明  注意到

$$-J_r(\lambda_0)=\begin{pmatrix} -\lambda_0 & -1 & & \\ & -\lambda_0 & \ddots & \\ & & \ddots & -1 \\ & & & -\lambda_0 \\ \end{pmatrix}$$

的特征值全为 $-\lambda_0$. 又特征值 $-\lambda_0$ 的几何重数等于 $r-\mathrm{r}(-J_r(\lambda_0)-(-\lambda_0)I_r)=r-(r-1)=1$, 故特征值 $-\lambda_0$ 只有一个 Jordan 块, 从而 $-J_r(\lambda_0)$ 的 Jordan 标准型为 $J_r(-\lambda_0)$. $\Box$

充分性  由 $A\approx J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\lambda_1),J_{r_1}(-\lambda_1),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k),J_{r_k}(-\lambda_k),J_{s_1}(0),\cdots,J_{s_t}(0)\}$ 以及引理可知

$$-A\approx -J=\mathrm{diag}\{-J_{r_1}(\lambda_1),-J_{r_1}(-\lambda_1),\cdots,-J_{r_k}(\lambda_k),-J_{r_k}(-\lambda_k),-J_{s_1}(0),\cdots,-J_{s_t}(0)\}\approx \mathrm{diag}\{J_{r_1}(-\lambda_1),J_{r_1}(\lambda_1),\cdots,J_{r_k}(-\lambda_k),J_{r_k}(\lambda_k),J_{s_1}(0),\cdots,J_{s_t}(0)\}\approx J\approx A.$$

必要性  设 $A$ 的 Jordan 标准型为

$$J=\mathrm{diag}\{J_{r_{11}}(\lambda_1),\cdots,J_{r_{1m_1}}(\lambda_1),\cdots,J_{r_{k1}}(\lambda_k),\cdots,J_{r_{km_k}}(\lambda_k),J_{s_1}(0),\cdots,J_{s_t}(0)\},$$

其中 $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$ 是 $A$ 的全体互异的非零特征值. 由引理可知

$$A\approx -A\approx -J\approx \mathrm{diag}\{J_{r_{11}}(-\lambda_1),\cdots,J_{r_{1m_1}}(-\lambda_1),\cdots,J_{r_{k1}}(-\lambda_k),\cdots,J_{r_{km_k}}(-\lambda_k),J_{s_1}(0),\cdots,J_{s_t}(0)\}.$$

由于初等因子组是矩阵相似关系的全系不变量, 且 Jordan 块与初等因子相互唯一确定, 故 $J_{r_{11}}(-\lambda_1)$, $\cdots$, $J_{r_{1m_1}}(-\lambda_1)$ 是 $A$ 仅有的关于特征值 $-\lambda_1$ 的 Jordan 块, 它们与特征值 $\lambda_1$ 的 Jordan 块 $J_{r_{11}}(\lambda_1)$, $\cdots$, $J_{r_{1m_1}}(\lambda_1)$ 正好一一配对 (其余特征值的 Jordan 块同理). 因此, $A$ 的 Jordan 标准型必如题所示. $\Box$

注  (i) 在必要性的证明中, 也可以利用白皮书例 7.52 的结论来证明 $A$ 关于特征值 $\lambda_0$ 和 $-\lambda_0$ 的 Jordan 块正好一一配对.

(ii) 在充分性的证明中, 也可以直接把非异阵 $P$ 构造出来. 设 $\Lambda=\mathrm{diag}\{1,-1,1,-1,\cdots\}$, 即第 $(i,i)$ 元为 $(-1)^{i-1}$ 的对角阵, 则

$$J_{s_j}(0)\Lambda+\Lambda J_{s_j}(0)=O,$$

$$\begin{pmatrix} J_{r_i}(\lambda_i) & O \\ O & J_{r_i}(-\lambda_i) \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & \Lambda \\ \Lambda & O \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} O & \Lambda \\ \Lambda & O \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} J_{r_i}(\lambda_i) & O \\ O & J_{r_i}(-\lambda_i) \\ \end{pmatrix}=O.$$