复旦大学2025--2026学年第一学期（25级）高等代数I期末考试第七大题解答

七、(10分)  设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi,\psi$ 为 $V$ 上的线性变换, 满足 $\varphi^3=\varphi$. 证明: $\varphi\psi=\psi\varphi$ 的充要条件是 $\mathrm{Ker}\varphi$, $\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)$ 和 $\mathrm{Ker}(I_V+\varphi)$ 都是 $\psi$-不变子空间.

证明  必要性  由 $\varphi\psi=\psi\varphi$ 容易验证 $\mathrm{Ker}\varphi$, $\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)$ 和 $\mathrm{Ker}(I_V+\varphi)$ 都是 $\psi$-不变子空间.

充分性  我们给出三种不同的证明.

证法一  分成 4 步来证明.

Step 1  对任意的 $\alpha\in V$, 有如下分解:

$$\alpha=(I_V-\varphi^2)(\alpha)+\frac{1}{2}(\varphi^2+\varphi)(\alpha)+\frac{1}{2}(\varphi^2-\varphi)(\alpha). \tag{1}$$

由于 $\varphi^3=\varphi$, 故 $(I_V-\varphi^2)(\alpha)\in\mathrm{Ker}\varphi$, $\dfrac{1}{2}(\varphi^2+\varphi)(\alpha)\in\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)$, $\dfrac{1}{2}(\varphi^2-\varphi)(\alpha)\in\mathrm{Ker}(I_V+\varphi)$, 于是 $\alpha\in\mathrm{Ker}\varphi+\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)+\mathrm{Ker}(I_V+\varphi)$, 从而

$$V=\mathrm{Ker}\varphi+\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)+\mathrm{Ker}(I_V+\varphi).$$

Step 2  任取 $\alpha\in\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)$, 则 $\alpha=\varphi(\alpha)=0$, 于是 $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)=0$ 成立.

Step 3  任取 $\alpha\in(\mathrm{Ker}\varphi+\mathrm{Ker}(I_V-\varphi))\cap\mathrm{Ker}(I_V+\varphi)$, 则 $\alpha=\alpha_0+\alpha_1$, 其中 $\alpha_0\in\mathrm{Ker}\varphi$, $\alpha_1\in\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)$, 由此可得

$$-\alpha_0-\alpha_1=-\alpha=\varphi(\alpha)=\varphi(\alpha_0)+\varphi(\alpha_1)=\alpha_1,$$

即有 $\alpha_0+2\alpha_1=0$. 再由 Step 2 可得 $\alpha_0=\alpha_1=0$, 从而 $\alpha=0$, 于是 $(\mathrm{Ker}\varphi+\mathrm{Ker}(I_V-\varphi))\cap\mathrm{Ker}(I_V+\varphi)=0$ 成立. 因此, 由前 3 步得到了如下直和分解:

$$V=\mathrm{Ker}\varphi\oplus\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)\oplus\mathrm{Ker}(I_V+\varphi). \tag{2}$$

Step 4  取 $\mathrm{Ker}\varphi$, $\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)$ 和 $\mathrm{Ker}(I_V+\varphi)$ 的一组基拼成 $V$ 的一组基, 则 $\varphi$ 在这组基下的表示矩阵 $A=\mathrm{diag}\{O_r,I_s,-I_t\}$. 又这三个核空间都是 $\psi$-不变子空间, 故 $\psi$ 在这组基下的表示矩阵 $B=\mathrm{diag}\{B_r,B_s,B_t\}$. 显然 $AB=BA$, 于是 $\varphi\psi=\psi\varphi$.

证法二  同证法一的 step 1 得到

$$V=\mathrm{Ker}\varphi+\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)+\mathrm{Ker}(I_V+\varphi),$$

即对任意的 $\alpha\in V$, $\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$, 其中 $\alpha_1\in\mathrm{Ker}\varphi$, $\alpha_2\in\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)$, $\alpha_3\in\mathrm{Ker}(I_V+\varphi)$. 由于 $\mathrm{Ker}\varphi$ 是 $\psi$-不变子空间, 故 $\psi(\alpha_1)\in\mathrm{Ker}\varphi$, 从而 $\varphi(\psi(\alpha_1))=0=\psi(\varphi(\alpha_1))$. 由于 $\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)$ 是 $\psi$-不变子空间, 故 $\psi(\alpha_2)\in\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)$, 从而 $\varphi(\psi(\alpha_2))=\psi(\alpha_2)=\psi(\varphi(\alpha_2))$. 由于 $\mathrm{Ker}(I_V+\varphi)$ 是 $\psi$-不变子空间, 故 $\psi(\alpha_3)\in\mathrm{Ker}(I_V+\varphi)$, 从而 $\varphi(\psi(\alpha_3))=-\psi(\alpha_3)=\psi(\varphi(\alpha_3))$. 于是对任意的 $\alpha\in V$, 成立

$$\varphi(\psi(\alpha))=\varphi(\psi(\alpha_1))+\varphi(\psi(\alpha_2))+\varphi(\psi(\alpha_3))=\psi(\varphi(\alpha_1))+\psi(\varphi(\alpha_2))+\psi(\varphi(\alpha_3))=\psi(\varphi(\alpha)),$$

因此 $\varphi\psi=\psi\varphi$.

证法三  注意到 $0=\varphi-\varphi^3=\varphi(I_V-\varphi)(I_V+\varphi)$, 故对任意的 $\alpha\in V$, 有 $\alpha_1=(I_V-\varphi^2)(\alpha)\in\mathrm{Ker}\varphi$, $\alpha_2=(\varphi+\varphi^2)(\alpha)\in\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)$, $\alpha_3=(\varphi-\varphi^2)(\alpha)\in\mathrm{Ker}(I_V+\varphi)$. 由于 $\mathrm{Ker}\varphi$ 是 $\psi$-不变子空间, 故 $\psi(\alpha_1)\in\mathrm{Ker}\varphi$, 从而 $0=\varphi(\psi(\alpha_1))=\varphi\psi(I_V-\varphi^2)(\alpha)$, 再由 $\alpha$ 的任意性可得

$$\varphi\psi=\varphi\psi\varphi^2. \tag{3}$$

同理对 $\alpha_2,\alpha_3$ 讨论可得

$$\psi\varphi+\psi\varphi^2=\varphi\psi\varphi+\varphi\psi\varphi^2, \tag{4}$$

$$\psi\varphi-\psi\varphi^2=-\varphi\psi\varphi+\varphi\psi\varphi^2. \tag{5}$$

最后将 (4) 式和 (5) 式相加, 再结合 (3) 式即得 $\varphi\psi=\psi\varphi$.  $\Box$

注  (1) 证法一中的某些步骤也可用多种方法来证明. 比如证明三个核空间的和是直和, 也可以用互素多项式来讨论, 具体可参考高代白皮书第 5.11 节 (互素多项式的应用). 又比如证明 (2) 式, 也可以不用写出具体的分解式 (1), 而通过秩的 Sylvester 不等式得到三个核空间的直和的维数大于等于 $n$, 从而只能等于全空间.

(2) 虽然表面上看证法二和证法三更加简洁, 但证法一具有更强的几何意义, 从而能推广到一般的情形.

本题的推广  设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi,\psi$ 为 $V$ 上的线性变换, 满足 $(\varphi-c_1I_V)\cdots(\varphi-c_kI_V)=0$, 其中 $c_1,\cdots,c_k$ 是 $\mathbb{K}$ 中 $k$ 个不同的数. 证明: $\varphi\psi=\psi\varphi$ 的充要条件是 $\mathrm{Ker}(\varphi-c_iI_V)\,(1\leq i\leq k)$ 都是 $\psi$-不变子空间.

推广的证明  必要性由高代白皮书例 6.35 即得. 充分性由高代白皮书例 6.66 的证明过程以及本题证法一的 Step 4 即得.  $\Box$