复旦大学2025--2026学年第一学期（25级）高等代数I期末考试第八大题解答

八、(10分)  设 $A,B,C,D$ 是 $n$ 阶实方阵, 使得 $I_n-AB$ 和 $I_n-CD$ 都是反对称阵. 证明: $AD+B'C'$ 是非异阵.

证明  设 $I_n-AB=S$, $I_n-CD=T$ 都是实反对称阵, 则 $AB=I_n-S$, $CD=I_n-T$. 由高代白皮书例 3.82 可知 $|AB|=|I_n-S|>0$, 故 $A,B$ 都是非异阵. 同理 $C,D$ 也都是非异阵. 令 $P=B^{-1}D$ 为非异实方阵， 则 $D=BP$, 从而 $B=DP^{-1}$, $B'=(P^{-1})'D'$, 于是

$$AD+B'C'=(AB)P+(P^{-1})'(CD)'=(I_n-S)P+(P^{-1})'(I_n-T)'=(I_n-S)P+(P^{-1})'(I_n+T).$$

要证 $AD+B'C'$ 非异, 只要证明齐次线性方程组 $(AD+B'C')x=0$ 只有零解即可. 设 $\alpha\in\mathbb{R}^n$ 使得 $(AD+B'C')\alpha=0$, 从而有

$$(I_n-S)P\alpha+(P^{-1})'(I_n+T)\alpha=0. \tag{1}$$

在 (1) 式两边同时左乘 $(P\alpha)'$ 可得

$$(P\alpha)'(I_n-S)(P\alpha)+\alpha'(I_n+T)\alpha=0. \tag{2}$$

注意到 $S,T$ 为反对称阵, 故由高代白皮书例 2.5 可知 $(P\alpha)'S(P\alpha)=\alpha'T\alpha=0$, 于是由 (2) 式可得

$$(P\alpha)'(P\alpha)+\alpha'\alpha=0. \tag{3}$$

注意到 $P\alpha,\alpha$ 都是实列向量, 故由 (3) 式即得 $P\alpha=\alpha=0$, 从而结论得证.  $\Box$