第十六届全国大学生数学竞赛初赛数学A类两道高代试题的简洁证明

本文将给出第十六届全国大学生数学竞赛初赛数学 A 类的两道高等代数试题的思路分析和相对简洁的证明.

第三大题  设 $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}$ 为实数域上的 3 阶不可逆方阵. 若 $A$ 的伴随矩阵 $A^*=\begin{pmatrix} a_{11}^2 & a_{12}^2 & a_{13}^2 \\ a_{21}^2 & a_{22}^2 & a_{23}^2 \\ a_{31}^2 & a_{32}^2 & a_{33}^2 \\ \end{pmatrix}$, 求 $A$.

思路分析  设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, 若 $A$ 可逆, 则 $A^*$ 也可逆; 若 $r(A)=n-1$, 则 $r(A^*)=1$; 若 $r(A)\leq n-2$, 则 $A^*=O$. 这是高代中一个常见的结论. 本题考虑的是 3 阶实奇异矩阵 $A$, 其伴随矩阵 $A^*$ 的元素是 $A$ 对应元素的平方, 由此求出矩阵 $A$. 显然, 利用上述结论是最基本的出发点. 在 $r(A)=2$, $r(A^*)=1$ 的情形, 标准答案的讨论略微有点复杂. 因此, 如何选择好的切入点, 将是简化证明的关键.

第三大题的证明  若 $r(A)\leq 1$, 则 $A^*=O$, 即所有的 $a_{ij}^2=0$, 于是所有的 $a_{ij}=0$, 即 $A=O$. 若 $r(A)=2$, 则 $r(A^*)=1$, 下面证明这种情况不可能发生.

由 $r(A^*)=1$ 可知 $A^*\neq O$ 且 $A^*$ 的每行成比例, 不妨设 $a_{33}^2\neq 0$ (其他情况完全类似). 又 $A$ 的代数余子式 $A_{33}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=a_{33}^2\neq 0$, 故 $a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}$ 中至少有两个元素非零, 不妨设 $a_{21}\neq 0$ (其他情况完全类似). 于是可设 $A^*$ 的第一行是第二行的 $k^2$ 倍, 第三行是第二行的 $t^2$ 倍, 其中 $k,t$ 为实数. 下设 $a_{11}=ka_{21}$, $a_{31}=ta_{21}$, 则 $a_{12}=\pm ka_{22}$, $a_{13}=\pm ka_{23}$, $a_{32}=\pm ta_{22}$, $a_{33}=\pm ta_{23}$. 由 $0\neq a_{33}^2=A_{33}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$ 可知 $a_{12}=-ka_{22}$, 于是 $A_{33}=2ka_{21}a_{22}\neq 0$, 从而 $k\neq 0$, $a_{22}\neq 0$. 由 $0\neq a_{21}^2=A_{12}=a_{31}a_{23}-a_{21}a_{33}$ 可知 $a_{33}=-ta_{23}$, 于是 $A_{12}=2ta_{21}a_{23}\neq 0$, 从而 $t\neq 0$, $a_{23}\neq 0$. 由 $0\neq a_{22}^2=A_{22}=a_{11}a_{33}-a_{31}a_{13}$ 可知 $a_{13}=ka_{23}$. 但此时 $0\neq a_{23}^2=A_{32}=a_{21}a_{13}-a_{11}a_{23}=0$, 矛盾.  $\Box$

第四大题  设 $f_i(x)\in\R[x]$ 且次数为 $d_i\,(1\leq i\leq 2024)$, 这里规定零多项式的次数为 $-\infty$. 已知

$$\sum_{i=1}^{2024}d_i<2047276,$$

证明: $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_{2024}(x)$ 是 $\R[x]$ 中线性相关的向量.

思路分析  打开本题证明的敲门砖是: 识别 2047276 究竟是什么? 有两种路径可供选择. 一是, 这个数必然和 2024 有关, 经过简单的计算可知 $2047276=2023\times 2024/2$. 二是, 如果本题结论不成立, 比如 $f_i(x)=x^{i-1}\,(1\leq i\leq 2024)$, 则它们的次数和等于 $2023\times 2024/2=2047276$. 因此, 只要证明类似的例子绝不可能出现即可. 因为拘泥于 2024 以及次数的讨论, 所以标准答案的证明略微有点复杂. 其实, 只要去掉 2024 的限制，把题目推广到正整数 $n$ 的情形, 再利用数学归纳法即可得到简洁的证明.

第四大题的证明  将题目作如下推广: 设多项式 $f_i(x)\in\R[x]$ 且次数为 $d_i\,(1\leq i\leq n)$, 满足

$$\sum_{i=1}^nd_i<\frac{1}{2}n(n-1),$$

证明: $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$ 是 $\R[x]$ 中线性相关的向量.

对 $n$ 进行归纳. 当 $n=1$ 时, $d_1<0$, 从而 $f_1(x)=0$, 于是 $f_1(x)$ 线性相关, 结论成立. 设多项式个数为 $n-1$ 时, 结论成立, 现证 $n$ 个多项式的情形. 若存在某个多项式, 不妨设为 $f_n(x)$, 其次数 $d_n\geq n-1$, 则

$$\sum_{i=1}^{n-1}d_i<\dfrac{1}{2}n(n-1)-d_n\leq \dfrac{1}{2}(n-1)(n-2),$$

则由归纳假设, $f_1(x),\cdots,f_{n-1}(x)$ 线性相关, 从而 $f_1(x),\cdots,f_{n-1}(x),f_n(x)$ 也线性相关. 若所有多项式的次数都小于 $n-1$, 则 $f_1(x),\cdots,f_n(x)$ 都属于 $n-1$ 维子空间 $\R_{<n-1}[x]$ (即次数小于 $n-1$ 的多项式全体构成的子空间). 注意到向量个数大于空间维数, 因此 $f_1(x),\cdots,f_n(x)$ 必线性相关.  $\Box$