复旦大学2024--2025学年第二学期高等代数II期末考试情况分析
一、获得A+的同学（按总评成绩排序）
顾子贤、张乐涵、易俊融、鄧崇希、胡晋源、张一、邱添、魏昕桐、李翔宇、郑钟鸿、王皜卿
二、总评成绩计算方法
作业成绩根据交作业的次数决定。本学期提交作业共12次，10次100分，少1次扣10分。
总评成绩=作业成绩*15%+期中成绩*15%+期末成绩*70%
三、期末卷面成绩及人数
| 期末卷面成绩 | 人数 |
| 90分--100分 | 6 |
| 80分--89分 | 25 |
| 70分--79分 | 34 |
| 60分--69分 | 15 |
| 50分--59分 | 12 |
| 40分--49分 | 6 |
| 40分以下 | 4 |
| 缓考 | 3 |
| 合计 | 105 |
| 期末考试班级平均分 | 70分 |
四、最终等第成绩及人数
| 最终等第成绩 | 人数 |
| A+ | 11 |
| A | 21 |
| A- | 34 |
| B+ | 14 |
| B | 8 |
| B- | 5 |
| C+ | 5 |
| C、C- | 0 |
| D | 0 |
| F | 4 |
| 缓考 | 3 |
| 合计 | 105 |
五、试卷命题分析
本次期末试卷的第一大题为8道选择题，主要考察学生对基本概念的理解程度和对定理结论以及作业中常见结论的熟悉程度；第二大题为8道填空题，它们与第三、四、五大题同为计算题，覆盖了整个高等代数II中所有重要的计算要点，这也是后续专业课程必需的计算基本功；第六、七、八大题同为证明题，其中第六大题是简单证明题，第七大题和第八大题是压轴证明题。遵循高等代数II的教学目标，试卷的前六大题共计80分，着重考察学生对基本概念的理解、基本计算的掌握以及证明推导能力的养成；最后两道证明题，让拔尖学生尽情发挥，使卷面成绩出现必要的梯度。学生的卷面成绩说明本试卷难易度适中，设计合理，富有层次，具有较好的区分度。
六、学生成绩分析
从期末考试的卷面成绩来看，80分以上的同学占了30%；70分以上的同学占了64%；整个班级的平均分为70分。最终等第成绩也与期末卷面成绩保持一致，获得A+、A与A-的同学共占了62.8%。应该说数学学院本科2024级同学（包括15名高年级转专业同学）在本次期末考试中取得了优异的成绩，交出了一份满意的答卷。
七、教学效果分析
本学期的高等代数课程继续实施线上线下混合式教学。周4学时的正课，要求高年级转专业学生进行线上学习；周2学时的习题课，不仅要求所有学生周末线上学习习题课教学视频，而且在周一晚上的线下习题课上，要求学生现场做一份练习卷并上台讲解证明题。在正课和习题课上都实施混合式教学，不仅增进了师生之间的交流与互动，而且激发了学生自主学习的动力，取得了良好的教学效果。
下面我们依次对最后两道大题进行分析。
@第七大题（解答请参考 https://www.cnblogs.com/torsor/p/18945725）
本题考察的是 Jordan 标准型的应用，具有相当的难度。很多同学都尝试了本题的证明，并转化成 $A$ 是 Jordan 标准型来处理问题，这一点非常好。不过在进一步的讨论过程中，大部分同学都犯了一个根本性的错误，即 $A^k$ 是分块对角阵且 $A^kB=BA^k$ 就推出 $B$ 也是分块对角阵。另外，当 $A=J_n(1)$ 时，从 $A^kB=BA^k$ 推出 $AB=BA$，有一些同学在那里瞎搞；当然也有几个同学利用 $A^k$ 的极小多项式等于特征多项式，推出 $B$ 是 $A^k$ 的多项式，从而是 $A$ 的多项式。不过这种讨论仅对主对角块 $B_{ii}$ 有用，其实对问题的解决帮助不大。王皜卿同学和李翔宇同学就换了个思路，当 $A=J_n(1)$ 时，从 $A^k$ 与 $A$ 乘法可交换推出 $A$ 可表示为 $A^k$ 的多项式，但由于每个 Jordan 块的特征多项式不互素，故无法通过中国剩余定理得到整体性的多项式，从而这两位同学没能得到完整的证明。
@第八大题（解答请参考 https://www.cnblogs.com/torsor/p/18945663）
本题考察的是正定阵和正交阵相关理论的应用，具有一定的难度。本题的难点在于 $Q$ 不是方阵（正交阵），否则本题的结论就是平凡的。因此破题的关键在于：如何将长方阵 $Q$ 变成方阵（正交阵）？深入本题证明的同学并不多，但约有10位同学想到了利用奇异值分解就能把 $Q$ 变成方阵（正交阵），其中顾子贤同学、易俊融同学和鄧崇希同学更是给出了完整的证明。当然，也可以将 $Q$ 的列向量扩张为一组标准正交基，从而变成了方阵（正交阵），但可能是由于时间的关系，没有同学想到这一方法。
八、致谢与寄语
为了本学期混合式教学的顺利开展，习题课老师周岩博士后认真准备每一次习题课教学；研究生助教钱邓鹏、肖高晖和江甲东认真批改每一次线下作业和期中试卷等。数学学院2024级同学以及高年级转专业同学能在本次期末考试中取得优异的成绩，除了自身的努力拼搏之外，我相信也离不开教学团队每一位成员的辛勤付出！在此我谨代表全体学生对周岩博士后、研究生助教钱邓鹏、肖高晖和江甲东表示衷心的感谢！
在本学期高代正课的最后，我送给2024级同学一则寄语：
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。
—— 节选 唐·李白《行路难·其一》
数学学习虽然过程痛苦，但只要努力和坚持，未来就一定能长风破浪、挂帆济海，期待大家学有所成的那一天！最后，衷心感谢2024级同学一年来的温馨陪伴！期待在将来的日子与大家偶遇在美丽的复旦校园！
