复旦高等代数II（22级）每周一题

本学期的高等代数每周一题活动计划从第1教学周开始，到第15教学周结束，每周的周末公布1道思考题（共15道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“22级高等代数在线课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上，用手机APP或微信小程序扫描（推荐扫描全能王，请不要直接用手机拍照，这样的图片像素太高不利于浏览），并将扫描图片上传到每周一题对应的课群话题中。本人会定期对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。

[问题2023S01]  设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换. 设 $f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x]$ 为首一多项式, $d(x)=(f(x),g(x))$, $m(x)=[f(x),g(x)]$ 分别是 $f(x),g(x)$ 的最大公因式和最小公倍式. 证明:

$$\mathrm{Ker\,}d(\varphi)=\mathrm{Ker\,}f(\varphi)\cap\mathrm{Ker\,}g(\varphi),\,\,\,\,\mathrm{Ker\,}m(\varphi)=\mathrm{Ker\,}f(\varphi)+\mathrm{Ker\,}g(\varphi).$$

[问题2023S02]  设 $V=M_n(\mathbb{C})$ 是 $n$ 阶复方阵全体构成的集合. 将 $V$ 看成是实线性空间, $V$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(X)=J\overline{X}J'$, 其中 $J$ 是基础循环矩阵 (高代白皮书第四版例 2.1), $\overline{X}$ 是 $X$ 的共轭. 试求 $\varphi$ 的表示矩阵的全体复特征值.

[问题2023S03]  设二阶实方阵 $A,B$ 满足 $AB=BA$, 证明: 对任意的实数 $x,y,z$, 成立

$$4xz\det(xA^2+yAB+zB^2)\geq (4xz-y^2)\big(x\det(A)-z\det(B)\big)^2.$$

[问题2023S04]  (1) 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, $B=(b_{ij})_{n\times n}$, 其中 $b_{ij}=\mathrm{tr}(A^{i+j-2})$, 并且约定 $A^0=I_n$. 证明: 若 $B$ 为非异阵, 则 $A$ 可对角化.

(2) 证明: [问题2023S02] 中 $\varphi$ 的表示矩阵复可对角化.

[问题2023S05]  设 $A,B,C\in M_2(\mathbb{K})$, 定义 $[A,B]=AB-BA$. 证明:

$$\Big[[A,B]^2,C\Big]=O.$$

[问题2023S06]  设 $p$ 是素数, 求证: 存在有理数域上的 $n$ 阶方阵 $A$, 满足 $A^{p-1}+\cdots+A+I_n=O$ 的充要条件是 $(p-1)\mid n$.

[问题2023S07]  设 4 阶方阵 $A,B$ 满足 $AB-BA=A$, 试求 $A,B$.

[问题2023S08]  设实系数多项式 $x^2-ax+b$ 的友阵 $C=\begin{pmatrix} 0 & -b \\ 1 & a \\ \end{pmatrix}$, $2n$ 阶方阵

$$A=\begin{pmatrix} C & I_2 & & \\ & C & \ddots & \\ & & \ddots & I_2 \\ & & & C \\ \end{pmatrix}.$$

试求 $A$ 的 Jordan 标准型.

[问题2023S09]  设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 为正实数, 证明: $B=\bigg(\dfrac{a_{ij}}{b_i+b_j}\bigg)$ 也是正定阵.

[问题2023S10]  请用第八章的方法证明高代白皮书第四版例 9.76 的结论: 设 $A$ 是 $n$ 阶正定实对称阵, $B$ 是 $n$ 阶半正定实对称阵, 则

$$|A+B|\geq |A|+|B|,$$

等号成立的充要条件是 $n=1$ 或当 $n\geq 2$ 时, $B=O$.

[问题2023S11]  设实二次型 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 的正负惯性指数为 $p,q$, 集合 $S=\{U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间 $\mid$ $U$ 中的任一向量 $\alpha$ 均满足 $f(\alpha)=0\}$. 求证:

$$\max_{U\in S}\dim U=n-\max\{p,q\}.$$

[问题2023S12]  设 $A$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵. 证明: $r(A)=r$ 的充要条件是 $A$ 有一个 $r$ 阶主子式 $|M|$ 非零, 且所有包含 $|M|$ 的 $r+1$ 阶加边主子式全为零.

注  可以采用第八章的方法, 也可以采用第九章的方法.

[问题2023S13]  设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵, 证明: 存在非异实方阵 $P$, 使得

$$P'(A'A+A'+A)P=AA'+A+A'.$$

[问题2023S14]  设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵, 二元函数 $(-,-)_A: M_n(\mathbb{R})\times M_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ 定义为 $(X,Y)_A=\mathrm{tr}(XAY')$.

(1) 证明: $(-,-)_A$ 成为 $M_n(\mathbb{R})$ 上内积的充要条件是 $A$ 为正定实对称阵.

(2) 设 $P,Q$ 为 $n$ 阶正交阵, $M_n(\mathbb{R})$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(X)=PXQ$. 设 $(-,-)_A$ 成为 $M_n(\mathbb{R})$ 上的内积, 并且 $\varphi$ 成为内积空间 $M_n(\mathbb{R})$ 上的正交变换, 试求 $A,Q$ 的正交相似标准型.

[问题2023S15]  设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, 证明: $A$ 正交相似于一个主对角元全为零的实对称阵的充要条件是 $\mathrm{tr}(A)=0$.