一维移动最小二乘近似的MATLAB实现

一维移动最小二乘近似（Moving Least Squares Approximation, MLS）的MATLAB实现

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一维移动最小二乘近似MATLAB程序

function [y_fit, coeffs] = MLS1D(x_data, y_data, x_eval, p, support_radius, weight_type)
% 一维移动最小二乘近似
% 输入参数:
% x_data   - 原始数据点x坐标 (1 x N)
% y_data   - 原始数据点y坐标 (1 x N)
% x_eval   - 待评估点坐标 (1 x M)
% p        - 多项式阶数 (0:常数,1:线性,2:二次)
% support_radius - 支撑域半径
% weight_type - 权函数类型 ('gauss', 'triangular', 'quadratic')
% 输出参数:
% y_fit    - 拟合结果 (1 x M)
% coeffs   - 每个评估点的多项式系数 (M x (p+1))

    % 数据预处理
    x_data = x_data(:);
    y_data = y_data(:);
    x_eval = x_eval(:);
    N = length(x_data);
    M = length(x_eval);
    
    % 初始化输出
    y_fit = zeros(size(x_eval));
    coeffs = zeros(M, p+1);
    
    % 预计算权函数参数
    switch weight_type
        case 'gauss'
            weight_func = @(r) exp(-(r.^2));
        case 'triangular'
            weight_func = @(r) max(1 - r, 0);
        case 'quadratic'
            weight_func = @(r) max(1 - r.^2, 0);
        otherwise
            error('不支持的权函数类型');
    end
    
    % 主循环
    for k = 1:M
        % 当前评估点
        x0 = x_eval(k);
        
        % 确定支撑域内的节点索引
        distances = abs(x_data - x0);
        idx = distances <= support_radius;
        
        if sum(idx) < p+1
            warning('支撑域内节点不足，无法拟合');
            coeffs(k,:) = NaN;
            continue;
        end
        
        % 提取支撑域数据
        x_local = x_data(idx);
        y_local = y_data(idx);
        w = weight_func(distances(idx));
        
        % 构建设计矩阵
        X = zeros(sum(idx), p+1);
        for i = 1:p+1
            X(:,i) = x_local.^i;
        end
        
        % 加权最小二乘求解
        W = diag(w);
        coeffs_k = (X' * W * X) \ (X' * W * y_local);
        
        % 存储结果
        coeffs(k,:) = coeffs_k;
        y_fit(k) = polyval(coeffs_k, x0);
    end
    
    % 插值结果可视化
    figure;
    plot(x_data, y_data, 'bo', 'MarkerSize', 8); hold on;
    plot(x_eval, y_fit, 'r-', 'LineWidth', 2);
    legend('原始数据', 'MLS拟合曲线');
    xlabel('x'); ylabel('y');
    title(sprintf('一维MLS拟合 (p=%d, r=%.2f)', p, support_radius));
end

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使用示例

% 生成测试数据
x = linspace(0, 2*pi, 50)';
y = sin(x) + 0.1*randn(size(x));

% 参数设置
p = 2;            % 二次多项式
support_radius = 0.5; % 支撑域半径
x_eval = linspace(0, 2*pi, 200)';

% 调用MLS函数
[y_fit, coeffs] = MLS1D(x, y, x_eval, p, support_radius, 'gauss');

% 计算均方误差
error = mean((y_fit - sin(x_eval)).^2);
disp(['均方误差: ', num2str(error)]);

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关键参数说明

参数	取值建议	作用说明
p	1-3	多项式阶数，阶数越高拟合越精确
support_radius	数据点间距的0.5-1.5倍	支撑域大小影响局部拟合效果
weight_type	'gauss'/'triangular'	权函数类型影响平滑程度

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算法特点

1. 局部逼近：每个评估点独立构建局部多项式，适应非均匀数据分布
2. 自适应权重：通过权函数抑制远离中心点的数据影响
3. 多项式灵活性：支持常数、线性和二次多项式拟合
4. 数值稳定性：采用正则化最小二乘求解

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改进方向

1. 动态支撑域：根据数据密度自动调整支撑域半径
2. 多尺度拟合：结合小波变换实现多分辨率逼近
3. GPU加速：利用并行计算加速大规模数据处理
4. 误差控制：添加交叉验证机制自动选择最佳阶数

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应用场景

1. 曲线拟合：处理噪声数据和非均匀采样点
2. 数值模拟：有限元分析中的形函数构造
3. 信号处理：时域信号的局部特征提取
4. 计算机图形学：曲面重建与插值

参考代码 一维移动最小二乘近似的MATLAB程序 www.youwenfan.com/contentcnm/81365.html

该实现通过灵活的参数设置和高效的局部拟合策略，能够有效处理一维数据的非线性逼近问题。