离散数学

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内容并非全部内容，仅作复习用。

数理逻辑

文字 Literal

一个原子公式（Atomic formula）或其否定，如 \(P, \neg P\)。

析取/合取范式 DNF/CNF

由有限个合取式析取而成 / 由有限个析取式合取而成。每个变元都出现一次的简单合取式称为极小项（Minterm），简单析取式称为极大项（Maxterm）。

极大项的下标取值方式：将赋值为假的变量取值从左到右排成一排看作二进制数。例如命题 \(P, Q, R\)，则 \(M_0 = P \lor Q \lor R, M_5 = \neg P \lor Q \lor \neg R\)。极小项同理，改为赋值为真的取值即可。

极小项的析取称为主析取范式（PDNF, Principal Disjunctive Normal Formula），极大项的合取称为主合取范式（PCNF, Principal Conjunctive Normal Formula）。

例如三个命题 \(P, Q, R\)，若要把 \(R\) 化为 PCNF，有

\[R \iff (P \lor \neg P) \land (Q \lor \neg Q) \land R \\ \implies (P\lor Q \lor R) \land (\neg P \lor Q \lor R) \land (P \lor \neg Q \lor R) \land (\neg P \lor \neg Q \lor R) \\ \implies M_0 \land M_4 \land M_2 \land M_6. \]

若要化为 PDNF，有

\[R \iff (P \land \neg P) \lor (Q \land \neg Q) \lor R \\ \implies (P \land Q \land R) \lor (\neg P \land Q \land R) \lor (P \land \neg Q \land R) \lor (\neg P \land \neg Q \land R) \\ \implies m_7 \lor m_3 \lor m_5 \lor m_1. \]

实际上，容易发现 PDNF 中的极小项下标就是 PCNF 中缺失的所有极大项下标。

与非/或非

用与非表示与/或/非：

\[\neg P \implies \neg (P \land P) \implies P \uparrow P \\ P \land Q \implies \neg \neg (P \land Q) \implies (P \uparrow Q) \uparrow (P \uparrow Q) \\ P \lor Q \implies \neg (\neg P \land \neg Q) \implies (P \uparrow P) \uparrow (Q \uparrow Q) \]

用或非表示与/或/非：

\[\neg P \implies \neg (P \lor P) \implies P \downarrow P \\ P \land Q \implies \neg (\neg P \lor \neg Q) \implies (P \downarrow P) \downarrow (Q \downarrow Q) \\ P \lor Q \implies \neg \neg (P \lor Q) \implies (P \downarrow Q) \downarrow (P \downarrow Q) \]

一阶逻辑 First-Order Logic

分配等值式：

\[\forall x(A(x) \land B(x)) \iff \forall x A(x) \land \forall x B(x) \\ \exist x(A(x) \lor B(x)) \iff \exist x A(x) \lor \exist x B(x) \]

Caution：

\[\forall x(A(x) \to B) \iff \exist x A(x) \to B \\ \exist x(A(x) \to B) \iff \forall x A(x) \to B \]

证明只需考虑 \(A \to B \iff \neg A \lor B\)。

约束出现/自由出现（Bound Occurrence/Free Occurrence）：变量是否在量词辖域中。

闭式（Closed Formula/Sentence）：没有自由变量的公式。

前束范式 PNF, Prenex Normal Form

所有量词和所辖变元位于开头，且量词前没有取非运算。

例：求 \((\forall x F(x, y) \to \exist y G(y)) \to \forall x H(x, y)\) 的 PNF。

\[(\forall x F(x, y) \to \exist z G(z)) \to \forall w H(w, y) \\ \implies \exist x(F(x, y) \to \exist z G(z)) \to \forall w H(w, y) \\ \implies \exist x \exist z (F(x, y) \to G(z)) \to \forall w H(w, y) \\ \implies \forall x \forall z ((F(x, y) \to G(z)) \to \forall w H(w, y)) \\ \implies \forall x \forall z \forall w ((F(x, y) \to G(z)) \to H(w, y)). \]

集合论

幂集 Power Set

集合 \(A\) 的全体子集构成的集合为 \(P(A)\)，也记作 \(2^A\)。显然，对于有限集 \(A\)，\(|P(A)| = 2^{|A|}\)。

幂集在集合的交并补运算下构成一个布尔代数（Boolean Algebra）。

容斥原理 Inclusion-Exclusion Principle

\[\left| \bigcup_{i = 1}^{n} S_i \right| = \sum_{P \subseteq \{1, 2, \dotsb, n\}} (-1)^{|P| - 1} \left| \bigcap_{x \in P} S_x \right| \]

一些基本的应用详见容斥原理基础应用。

二元关系 Binary Relation

笛卡尔积（Cartesian Product）：\(A \times B = \{(x, y) \mid x \in A \land y \in B\}\)。

全域关系（Universal Relation）：\(E_A = A \times A\)。

恒等关系（Identity Relation）：\(I_A = \{(x, x) \mid x \in A\}\)。

关系 \(R\) 的定义域（Domain）记作 \(\text{dom} (R) = \{x \mid \exist y, (x, y) \in R\}\)，值域（Range）记作 \(\text{ran} (R) = \{y \mid \exist x, (x, y) \in R\}\)，域（Field）记作 \(\text{field} (R) = \text{dom} (R) \cup \text{ran} (R)\)。

关系 \(R\) 的逆记作 \(R^{-1} = \{(y, x) \mid xRy\}\)。

关系 \(F\) 与 \(G\) 的左复合 \(F \circ G = \{(x, z) \mid \exist y, xFy \land yGz\}\)，右复合 \(F \circ G = \{(x, z) \mid \exist y, xGy \land yFz\}\)。某教材采用的是右复合，故接下来写的都是右复合。

关系 \(R\) 在 \(A\) 上的限制（Restriction）记作 \(R \restriction A = \{(x, y) \mid x \in A \land xFy\}\)，\(A\) 在 \(F\) 下的像（Image）记作 \(F[A] = \text{ran}(F \restriction A)\)。群论中轨道的定义与此处像的定义十分类似，形象地理解就是，轨道可以看作是单个元素在群作用形成的关系下的像。

集合 \(A\) 上的关系 \(R\) 的 \(n\) 次幂定义为 \(R^n = R^{n - 1} \circ R, R^0 = I_A\)。

• 自反性 Reflexivity：\(\forall x \in A, xRx\)；
• 反自反性 Irreflexivity：\(\forall x \in A, \neg xRx\)；
• 对称性 Symmetry：\(\forall x, y \in A, xRy \implies yRx\)；
• 反对称性 Antisymmetry：\(\forall x, y \in A, (xRy \land yRx) \implies x = y\)；
• 非对称性 Asymmetric：\(\forall x, y \in A, xRy \implies \neg yRx\)；
• 连接性 Connected：\(\forall x, y \in A, x \ne y \implies (xRy \lor yRx)\)；
• 传递性 Transitivity：\(\forall x, y, z \in A, (xRy \land yRz) \to xRz\)。

闭包 Closure

通俗地讲，关系 \(R\) 的“XX”闭包就是包含 \(R\) 的最小的满足“XX”性的关系。

自反闭包 \(r(R) = R \cup I_A\)，对称闭包 \(s(R) = R \cup R^{-1}\)，传递闭包 \(t(R) = \bigcup_\limits{i = 1}^{\infty} R^i\)。注意，传递闭包并不包含 \(R^0\) 项，因此它可能不是自反的。

由于图可以抽象为邻接矩阵，邻接矩阵又可以表示点集上的关系，所以可以类似地定义图和矩阵（方阵）的闭包。一个应用是 Floyd-Warshall 算法。

等价关系 Equivalence Relation

满足自反、对称、传递的关系称为等价关系。集合 \(A\) 上的等价关系和集合 \(A\) 的划分形成双射。\(A\) 关于 \(R\) 的商集（Quotient Set）定义为 \(A / R = \{[x] \mid x \in A\}\)，也就是 \(R\) 对应的划分。

偏序关系 Partial-Order Relation

满足自反、反对称、传递的关系称为偏序关系，此时称 \(A\) 为偏序集（poset）。若偏序 \(R\) 还具有连接性，则称其为全序（total order），\(A\) 为全序集/线性序集/简单序集。由于反对称性，所以 Hasse 图一定是一张 DAG，此时对其进行拓扑排序可以构造全序。

若 \(B \subseteq A\)，则 \(B\) 的最小元为 \(y\)，当且仅当 \(\forall x \in B, y \le x\)，最大元类似；极小元为 \(y\)，当且仅当 \(\forall x \in B, (x \le y \lor y \le x) \implies y \le x\)，极大元类似。

若 \(\exist y \in A, \forall x \in B, x \le y\)，则称 \(y\) 是 \(B\) 的上界，下界同理。最小上界（上确界，LUB，\(\sup(B)\)）即所有上界的最小元，最大下界（下确界，GLB，\(\inf(B)\)）同理。

链/反链 Chain/Antichain

若 \(A\) 为偏序集，\(\le\) 为其上偏序关系，则称 \(A\) 的全序子集为链（chain）；若子集 \(T\) 中任意两个元素均不可比，则称 \(T\) 为反链（antichain）。我们称 \(A\) 的最长反链长度为 \(A\) 的宽度（partial order width）。

关于链和反链有 Dilworth 定理和 Mirsky 定理，利用它们可以导出图论中的 Hall 定理，证明详见此处。

判定无限偏序集中是否存在最大元，可以使用 Zorn 引理（Zorn's Lemma）：若非空偏序集的每条链都有上界，则该偏序集存在极大元。Zorn 引理与选择公理、良序定理等价。

函数/映射 Functions

若 \(\forall x \in \text{dom}(F), |F[\{x\}]| = 1\)，则称 \(F\) 为函数（映射）。也就是说，对于定义域内每个 \(x\)，都有唯一的 \(y\) 使得 \(xFy\) 成立。

集合 \(B^A = \{f \mid f : A \to B\}\) 表示所有以 \(A\) 为定义域，以 \(B\) 为陪域的函数构成的集合（即 \(\text{dom}(f) = A, \text{ran}(f) \subseteq B\)）。

单射（Injective）：\(\forall x_1 \ne x_2 \in A, f(x_1) \ne f(x_2)\)。

满射（Surjective）：\(\text{ran}(f) = B \iff \forall y \in B, |f^{-1} \restriction \{y\}| \ge 1\)。

双射（Bijective）：既是单射，也是满射。此时一定有 \(|A| = |B|\)。

单射一定有反射，且该反射为双射。

两个“x”射的复合仍然是“x”射。

群论

Klein 四元群 \(G = \{e, a, b, c\}\) 满足交换律，且 \(a, b, c\) 任意两者的运算结果为第三个元素。

子群 Subgroup

对于群 \((G, ·)\)，若 \(H \subseteq G\)，且 \((H, ·)\) 也是一个群，则 \(H\) 是 \(G\) 的一个子群，记作 \(H \le G\)。

子群判别法：群 \(G\) 的子集 \(H\) 是子群，当且仅当 \(\forall x, y \in H, x^{-1}y \in H\)。

集合 \(S \subseteq G\) 的生成子群为 \(\langle S \rangle\)，其为包含 \(S\) 的最小的子群。形象地说，我们可以考虑不断用与 \(S\) 中元素运算得到的元素扩充 \(S\) 从而得到一个子群 \(H\)。

循环群 Cyclic Group

由一个元素生成的群称为循环群。形式化地，对于群 \(G\)，如果存在 \(x \in G\) 使得 \(G = \langle x \rangle\)，则称 \(G\) 是一个循环群（cyclic group）。若循环群无限，则其一定与 \(C_{\infty} = (\Z, +)\) 同构；否则，设其元素个数为 \(n \in \N^+\)，则其与 \(C_n = (\Z/n\Z, +)\) 同构（即整数模 \(n\) 意义下的加法群）。

所有循环群都是 Abel 群，然而所有非平凡子群都是 Abel 群不能导出群本身是一个循环群。

群的阶 Order of Groups

群的阶就是群的元素个数，即 \(|G|\)。群内给定元素的阶是该元素生成子群的阶，即 \(|x| = | \langle x \rangle |\)，该值为最小的使得 \(x^n = e\) 成立的正整数 \(n\)，若不存在，则称 \(|x| = \infty\)。

群内元素的阶总是整除群的阶。

有限循环群 \(C_n = \langle x \rangle\) 中，元素 \(x^k\) 的阶为 \(\dfrac{n}{\gcd(k, n)}\)。特别地，\(C_n\) 的生成元数量为 \(\varphi(n)\)（因为生成元满足 \(|x^k| = n\)，故 \(k\) 与 \(n\) 互质）。

若 \(G\) 是 \(n\) 阶循环群，则对于所有 \(d \mid n\)，恰有一个 \(d\) 阶子群。

陪集 Coset

给定子群 \(H \le G\)，可以定义它的左陪集（left coset）和右陪集（right coset）为

\[gH = \{gh : h \in H\}, Hg = \{hg : h \in H\} \]

陪集中的元素称为陪集的代表元。子群本身就是它的陪集（取 \(g = e\) 即可）。给定子群，全体陪集构成群的一个分划，即群是全体陪集的不交并。对于左陪集的分划，等价关系为 \(g_1 \sim g_2 \iff g_1^{-1}g_2 \in H\)；对于右陪集的分划，等价关系为 \(g_1 \sim g_2 \iff g_1g_2^{-1} \in H\)。

同一子群的任意陪集大小都等于子群的大小。由于给定子群的全体陪集构成分划，所以有限群的阶一定被子群的阶整除，这即是 Lagrange 定理：用 \([G : H]\) 表示 \(H \le G\) 的左（或右）陪集数，称为 \(G\) 中子群 \(H\) 的指数，则对于有限群 \(G\) 和子群 \(H \le G\)，有 \(|G| = [G : H]|H|\)。

正规子群 Normal Subgroup

一般情况下，子群 \(H\) 的左右陪集并不相同。如果对于任意 \(g \in G\)，都有 \(gH = Hg\)，则称 \(H\) 是 \(G\) 的一个正规子群。这个条件等价于 \(\forall g \in G, h \in H, ghg^{-1} \in H\)，记作 \(H \trianglelefteq G\)。

群 \(G\) 总是有平凡的正规子群：\(\langle e \rangle\) 和 \(G\) 本身。

商群 Quotient Group

对于 \(H \trianglelefteq G\)，考虑其全体陪集：

\[G / H = \{gH : g \in G\} \]

定义 \(G / H\) 上的二元运算 \(\circ\) 为 \(g_1 H \circ g_2 H = (g_1 g_2) H\)，此时 \((G/ H, \circ)\) 称为 \(G\) 模 \(H\) 的商群（quotient group）。商群 \(G / H\) 不是 \(G\) 的子群，它的每个元素都是 \(G\) 的子集。

除平凡正规子群外没有其他正规子群的群称为单群 (simple group)。

群同态 Homomorphism

设映射 \(\varphi : G \to H\) 是 \((G, ·)\) 到 \((H, \circ)\) 的映射，若 \(\forall g_1, g_2 \in G, \varphi(g_1 · g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)\)，则称映射 \(\varphi\) 是一个自群 \(G\) 到群 \(H\) 的同态（homomorphism）。

显然，单位元会被映射到单位元，逆元会被映射到逆元。

群同构 Isomorphism

设 \(\varphi : G \to H\) 是自群 \(G\) 到群 \(H\) 的同态，如果 \(\varphi\) 是双射，则称 \(\varphi\) 是 \(G\) 与 \(H\) 之间的同构（isomorphism），记作 \(G \cong H\)。

置换群 Permutation Group

置换就是排列，轮换即是“置换环”，也就是排列的不交分解。

若置换 \(\sigma\) 可以表示为若干对换之积，则称 \(\sigma\) 为奇置换，否则为偶置换。\(n\) 元奇置换和偶置换各有 \(\dfrac{n!}{2}\) 个。

所有 \(n\) 元置换构成的集合 \(S_n\) 及其上乘法构成一个群，称为 \(n\) 元对称群。\(S_n\) 的任意子群称为 \(n\) 元置换群。

群作用 Group Action

对于群 \(G\) 和集合 \(X\) 以及映射 \(G \times X \to X\)，记 \((g, x)\) 在该映射下的像为 \(g · x\)，若该映射满足 \(\forall g_1, g_2 \in G, x \in X, g_1 · (g_2 · x) = (g_1 · g_2) · x\)，且 \(e · x = x\)，则称该映射为 \(G\) 在集合 \(X\) 上的群作用（group action）。

注意到上述性质表明对于一个 \(g \in G\)，若 \(x_1, x_2 \in X, gx_1 = gx_2\)，那么 \(g^{-1}gx_1 = g^{-1}gx_2 \implies x_1 = x_2\)，所以对于一个 \(g\)，其在 \(X\) 上的作用构成 \(X \to X\) 的双射，也就是说构成一个置换，设为 \(\varphi_g\)。不难发现，\(\varphi_g\) 的逆置换就是 \(\varphi_{g^{-1}}\)。可以验证，\(\varphi\) 是群 \(G\) 到 \(S_{X}\) 的一个同态，这一同态被称为该群作用的置换表示，它将 \(G\) 映射到了某个置换群上。

轨道 Orbit

固定群中的元素 \(g\)，可以得到集合 \(X\) 上的置换 \(\varphi_g\)；而如果研究一个集合 \(X\) 中的特定元素 \(x\)，则可以得到群 \(G\) 对元素 \(x\) 作用的所有可能结果。这就是 \(x\) 在群 \(G\) 作用下的轨道（orbit）：\(Gx = \{gx : g \in G\}\)。形象地，可以认为是群 \(G\) 中每个元素 \(g\) 采用群 \(G\) 所含有的某种特殊规则对 \(x\) 进行了变化，得到了若干结果，\(x\) 在群 \(G\) 作用下的可能结果只在这些结果中取得。容易发现，\(X\) 的全体轨道构成了 \(X\) 的一个分划（因所有 \(\varphi_g\) 都为双射），记作 \(X / G\)，但是与陪集不同的是这些轨道并不一定等长。

稳定子 Stabilizer

对于群 \(G\) 在集合 \(X\) 上的作用和 \(x \in X\)，称群 \(G\) 中 \(x\) 的稳定子（stabilizer）为子群 \(G_x = \{g \in G : gx = x\}\)。

轨道上的元素和稳定子的左陪集一一对应。即，\(x \in X\) 的稳定子 \(G_x\) 是 \(G\) 的子群，且子群 \(G_x\) 的左陪集与轨道 \(Gx\) 存在双射（对于左陪集 \(gG_x\)，有 \(\forall k \in gG_x, kx = gg'x = g(g'x) = gx\)）。这表明 \([G : G_x] = |Gx|\)，根据 Lagrange 定理立得

\[|Gx| = [G : G_x] = \dfrac{|G|}{|G_x|} \]

这就是轨道-稳定子定理。

Burnside 引理 Burnside's Lemma

对于群 \(G\) 在集合 \(X\) 上的作用，轨道的个数等于群中每个元素对应置换的不动点的平均个数，即

\[|X / G| = \dfrac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |X^g| \]

这里 \(X^g = \{x \in X : gx = x\}\) 表示 \(g \in G\) 对应置换 \(\varphi_g\) 的不动点集合。

证明很简单：注意到 \(\sum_{g \in G} |X^g| = \sum_{x \in X} |G_x|\) 即可。

Pólya 定理 Pólya's Theorem

例：一串共 4 个珠子的项链，每个珠子可以染成 \(k\) 种颜色中的一种，求有多少种本质不同的项链（注意项链可以旋转）。

对于染色计数问题，不动点个数 \(|X^g|\) 的计算方法可以进行改进：颜色集合为 \(C\)，则染色方案集合为 \(C^X\)，则有 Pólya 定理：

\[|C^X / G| = \dfrac{1}{|G|}\sum_{g \in G} |C|^{c(g)} \]

其中 \(c(g)\) 为 \(\varphi_g\) 的轮换分解中的轮换数目（也就是排列中的置换环数目）。

一个形象的考虑是：\(g\) 对应的 \(\varphi_g\) 会形成若干置换环，每个置换环上的位置必须染同一颜色才能构成一个不动点，所以不动点的数目应为 \(|C|^{c(g)}\)。

环 Rings

设 \((G, +)\) 为交换群，\((G, ·)\) 为半群，\(·\) 运算对于 \(+\) 运算满足分配律，则称 \((G, +, ·)\) 为一个环。通常称第一个运算为环上的加法，第二个运算为环上的乘法。

若环中乘法满足交换律，则称环为交换环。

若环中乘法存在单位元，则称环为含幺环。

若 \(\forall a \ne 0, b \ne 0 \in R, ab \ne 0\)，则称环为无零因子环。

整环 Integral Domain

若环 \(R\) 满足 \(R\) 是交换环、含幺环和无零因子环，则称 \(R\) 是一个整环。

域 Fields

若整环 \(R\) 满足除零元 \(0\) 外均存在逆元，则称 \(R\) 是一个域。

格与布尔代数

格 Lattices

偏序集定义：设 \((S, \le)\) 为偏序集，若 \(\forall x, y \in S\)，\(\{x, y\}\) 都有最小上界 \(\min_{x \le z, y \le z} z\) 和最大下界 \(\max_{z \le x, z \le y} z\)，则称 \(S\) 关于偏序 \(\le\) 构成一个格。

由于上确界和下确界均唯一，可以把它们分别看作二元运算 \(x \lor y\) 和 \(x \land y\)。

显然，若 \(x, y\) 可比，则有 \(x \le y \iff x \lor y = y, x \land y = x\)，且 \(y \le x \iff x \lor y = x, x \land y = y\)。运算具有保序性。

代数系统定义：设 \((S, *, \circ)\) 为代数系统，如果二元运算 \(*, \circ\) 满足交换律、结合律和吸收律，则 \((S, *, \circ)\) 构成一个格。此时 \(\land = *, \lor = \circ\)。

格的对偶原理 Duality Principle of Lattices：设 \(f\) 是含有格中元素以及符号 \(=, \le, \ge, \lor, \land\) 等的命题，若 \(f\) 对一切格为真，则 \(f\) 的对偶命题 \(f^*\) 也对一切格为真。例如 $f: \forall a, b \in L, a \land b \le a \implies f^{*}: \forall a, b \in L, a \lor b \ge a $。

运算 \(\lor\) 和 \(\land\) 满足：交换律，结合律，幂等律，吸收律（\(a \lor (a \land b) = a, a \land (a \lor b) = a\)）。

正因子格：\(n\) 为正整数，则 \(n\) 的所有正因子关于整除关系构成格。此时 \(x \land y = \gcd(x, y), x \lor y = \text{lcm}(x, y)\)。

幂集格：\((P(A), \subseteq)\) 是一个格，称为幂集格。此时 \(x \land y = x \cap y, x \lor y = x \cup y\)。

整数格：\((\Z, \le)\) 是一个格，此时 \(x \land y = \min(x, y), x \lor y = \max(x, y)\)。

子群格：群 \(G\) 的所有子群构成一个格，此时 \(x \land y = x \cap y, x \lor y = \langle x \cup y \rangle\)（注意子群交仍然是子群，但子群并需要取生成子群才构成子群）。

设 \(\langle S, \land, \lor \rangle\) 是一个格，\(T\) 是 \(S\) 的一个非空子集，若 \(T\) 关于 \(\land, \lor\) 构成一个格，则称 \(\langle T, \land, \lor \rangle\) 是 \(\langle S, \land, \lor \rangle\) 的子格（Sublattice）。

若存在 \(a \in S, \forall x \in S, x \le a\)，则称 \(a\) 是 \(S\) 的全上界（Total Upper Bound），也就是最大元；全下界同理，即为最小元。若两者均存在，则称 \(S\) 是有界格（Bounded Lattice），记作 \(\langle S, \land, \lor, 0, 1 \rangle\)，其中 \(0, 1\) 分别为最小元和最大元。显然，有 \(\forall x \in S, x \lor 0 = x, x \lor 1 = 1, x \land 0 = 0, x \land 1 = x\)。

若 \(\land, \lor\) 互相满足分配律，则称 \(\langle S, \land, \lor \rangle\) 是分配格（Distributive Lattice）。

若 \(\forall x \in S, \exist x' \in S, x \land x' = 0, x \lor x' = 1\)，则称 \(S\) 是有补格（Complement Lattice），\(x'\) 与 \(x\) 互为补元。

布尔代数 Boolean Algebra

有补的分配格称为布尔代数，记作 \(\langle S, \land, \lor, ', 0, 1 \rangle\)，例如正因子格、幂集格和子群格。对于有限布尔代数 \(S\)，在 Hasse 图中，与 \(0\) 直接连边的所有元素称为原子（atom），令所有原子构成的集合为 \(A\)，则 \(S\) 同构于 \(P(A)\)，基数为 \(|S| = 2^{|A|}\)。

容易得出，任何等势的有限布尔代数都同构。

图论

图的阶数（order）即点集大小 \(|V|\)，若 \(|E| = 0\)，则称为零图。

\(\Delta(G)\) 为所有顶点度数的 \(\max\)，称为图 \(G\) 的最大度（maximum degree），同理有最小度 \(\delta(G)\)。

无向图 \(G\) 中，\(\displaystyle \sum_{u \in V} d(u) = 2|E|\)。证明将无向图看作有向图即可（实际上我们也一直是这样处理的）。由于等式右侧是偶数，所以奇度节点一定为偶数个。

图同构（Graph Isomorphism）是 NP 问题（但并非 NP-Hard）。

竞赛图 Tournament Graph

基图为 \(K_n\) 的有向简单图，实际上就是给完全图的每条边定向。竞赛图一定能够缩点形成链状 DAG，即形如 \(C_1 \to C_2 \to \dotsb \to C_k\)，且对于 \(C_i\) 向 \(\forall j \gt i\) 的 \(C_j\) 连边。

兰道定理（Landau's Theorem）：设 \(\{a_n\}\) 为不减的非负整数序列，则它是竞赛图的度数序列，当且仅当 \(\forall k = 1, 2, \dotsb, n, \displaystyle \sum_{i = 1}^{k} a_i \ge \dbinom{k}{2}\)，且当 \(k = n\) 时取等号。

正常的证明应该使用归纳法或网络流，不过使用 Hall 定理的推论似乎也能证明（to be done）。

正则图 Regular Graph

若 \(n\) 阶简单无向图 \(G\) 中所有节点度数相同（均为 \(k\)），则称 \(G\) 为 \(n\) 阶 \(k -\)正则图。

子图 Subgraph

若 \(G' = (V', E')\) 满足 \(V' \subseteq V, E' \subseteq E\)，则 \(G' \subseteq G\)，称 \(G'\) 是 \(G\) 的子图。注意，子图仍需满足 \(E'\) 中涉及的顶点都在 \(V'\) 中，也就是说子图就是 \(E'\) 的边导出子图，但与点导出子图不同的是不一定要“选满”。

（点集的）导出子图（Induced Graph）：\(V' \subseteq V\) 的导出子图的边集是所有两顶点都在 \(V'\) 中的边。

补图 Complement Graph

\(G = (V, E)\) 的补图为 \(G' = (V, E(K_n) \setminus E)\)，即由相同点集和所有不在原图中的边组成的图。

通路/回路 Path/Circuit

所有边互不相同的通路称为简单通路，同理可定义简单回路。欧拉通路/回路显然是简单通路/回路。

所有顶点互不相同的简单通路称为初级通路，也称路径，同理可定义初级回路，也就是圈。

连通性 Connectivity

无向图

显然无向图的连通性可以视作一种等价关系，这也是并查集维护等价类的依据。

若从图 \(G\) 中删除点 \(u\)，图 \(G\) 的连通分量数量增加，则称 \(u\) 是 \(G\) 的割点（Cut Vertex）。同理可定义割边（Cut Edge），也就是桥。

设 \(G\) 是无向连通图，则 \(G\) 的点连通度（Vertex Connectivity）定义为 \(G\) 的割点集大小最小值（也就是至少要删除几个点才能使图的连通分量数量增加），记作 \(\kappa(G)\)。\(n\) 阶完全图 \(K_n\) 满足 \(\kappa (K_n) = n - 1\)，树满足 \(\kappa(T) = 1\)。

\(k-\)连通图定义为删除任意 \(k - 1\) 个顶点后仍连通的图，此时 \(\kappa(G) \ge k\)。

同理，\(\lambda(G)\) 为图 \(G\) 的边连通度（Edge Connectivity），也就是 \(G\) 的割边集大小的最小值。完全图 \(\lambda(K_n) = n - 1\)，树 \(\lambda(T) = 1\)。求解边连通度就是求最小割，根据 Ford-Fulkerson 定理，我们只需在图 \(G\) 上枚举源汇点求最大流即可。

\(r-\)边连通图定义为删除任意 \(r - 1\) 条边后仍连通的图，此时 \(\lambda(G) \ge r\)。

Whitney 不等式：\(\kappa \le \lambda \le \delta\)。

有向图

有向图中，连通性被拆分为两个方向的可达性，这就产生了强连通和弱连通：若有向图 \(G\) 的基图是连通图，则称 \(G\) 为弱连通图（Weakly Connected Graph）；若 \(G\) 中任意两点互相可达，则 \(G\) 为强连通图（Strongly Connected Graph）。显然，强连通图都是弱连通的。注意，单向连通是强于弱连通的，因为它要求任意两点间存在可达关系。

\(G\) 是单向连通的当且仅当存在经过每个节点至少一次的通路。

\(G\) 是强连通的当且仅当存在经过每个节点至少一次的回路。

强连通分量 Strongly Connected Components

有向图 \(G\) 的所有极大强连通子图称为它的强连通分量。

使用 Tarjan 算法可以在 \(O(n + m)\) 时间内求出有向图 \(G\) 的所有强连通分量，且访问 SCC 的顺序为缩点后 DAG 的逆拓扑序。

双连通分量 Biconnected Components

对于无向连通图 \(G\)，若 \(u, v\) 满足无论删除哪条边都不能使得它们不连通，则称 \(u, v\) 边双连通。同理可定义点双连通。注意，边双连通具有传递性，但点双连通不具有。

无向连通图 \(G\) 的极大边双连通子图称为它的边双连通分量，同理有点双连通分量。

Tarjan 算法可以在 \(O(n + m)\) 时间内求出所有边双/点双连通分量。

圆方树将所有边双连通分量抽象为中心方点，此时直接相连的两点间不会新建方点，只能处理仙人掌（每条边在至多一个简单环上）上的问题。若将所有点双连通分量进行圆方树构造，则可以得到广义圆方树，它可以处理一般无向图。

关联矩阵 Incidence Matrix

无向图：大小为 \(n \times m\)，其中 \(M_{i, j}\) 为 \(v_i\) 与 \(e_j\) 的关联次数（自环为 \(2\)，否则在边中为 \(1\)，不在为 \(0\)）。

有向图：大小为 \(n \times m\)，若 \(v_i\) 为 \(e_j\) 起点则 \(M_{i, j} = 1\)，终点则 \(M_{i, j} = -1\)，否则为 \(0\)。

邻接矩阵 Adjacency Matrix

若邻接矩阵中为边数，则 \(A^k_{i, j}\) 表示 \(v_i \to v_j\) 的经过边数为 \(k\) 的通路数量；若为边权，则表示经过边数为 \(k\) 的所有通路的长度和。

二分图 Bipartite Graph

若无向图 \(G = (V, E)\) 的点集可被划分为 \(V_1, V_2\)，使得 \(E\) 中每条边的两端点分别位于 \(V_1\) 和 \(V_2\) 中，则称 \(G = (V_1, V_2, E)\) 是二分图，\(V_1, V_2\) 为互补顶点子集。

若 \(\forall u \in V_1, \forall v \in V_2, (u, v) \in E\)，则称 \(G\) 为完全二分图（Complete Bipartite Graph），记作 \(K_{r, s}\)，其中 \(r = |V_1|, s = |V_2|\)。

Hall 定理：对于二分图 \(G = (X, Y, E)\)，其中 \(|X| \le |Y|\)，\(G\) 存在 \(X-\)完美匹配的充要条件为 \(\forall V \subseteq X, |N_G(V)| \ge |V|\)。换句话说，选出任意一些左部点，所连的右部点总个数都不少于选出的左部点个数。

二分图判定：\(G\) 为二分图，当且仅当 \(G\) 中没有奇圈，也就是说，\(G\) 是 2-可着色的。

欧拉图 Eulerian Graph

经过图 \(G\) 中每条边恰一次的通路称为欧拉通路，回路称为欧拉回路。

包含欧拉回路的图称为欧拉图，包含欧拉通路但不包含欧拉回路的图称为半欧拉图（Semi-Eulerian Graph）。

无向连通图 \(G\) 是欧拉图的充要条件是所有节点度数为偶数；是半欧拉图的充要条件是恰有两个顶点度数为奇数。

有向强连通图 \(G\) 是欧拉图的充要条件是所有顶点入度等于出度；是半欧拉图的充要条件是恰有两个顶点的入度不等于出度，且相差恰好 1。

无向图 \(G\) 是非平凡欧拉图当且仅当 \(G\) 连通，且为若干个边不重复的圈的并。此时 \(G\) 满足 \(\lambda \ge 2\)，也就是说没有割边。

哈密顿图 Hamiltonian Graph

经过图 \(G\) 中每个顶点恰一次的通路称为哈密顿通路，回路称为哈密顿回路。

包含哈密顿回路的图称为哈密顿图，包含哈密顿通路但不包含哈密顿回路的图称为半哈密顿图（Semi-Hamiltonian Graph）。

没有简单的充要条件可以判定哈密顿图。

必要条件：若删除图 \(G\) 中的某 \(k\) 个顶点会使得 \(G\) 变为 \(\gt k\) 个连通分量，则 \(G\) 不是哈密顿图。并非充分条件：Petereson 图不符合上述条件，但不是哈密顿图。

若删除图 \(G\) 中的某 \(k\) 个顶点会使得 \(G\) 变为 \(\gt k + 1\) 个连通分量，则 \(G\) 不是半哈密顿图。

充分条件：若对于任意不相邻顶点 \(u, v\) 都有 \(d(u) + d(v) \ge n - 1\)，则 \(G\) 中存在哈密顿通路；若都有 \(d(u) + d(v) \ge n\)，则 \(G\) 中存在哈密顿回路。

推论：对于 \(n \ge 3\) 的无向简单图，若每个顶点度数 \(\ge \frac{n}{2}\)，则该图为哈密顿图。这被称为狄拉克定理（Dirac's Theorem）。

平面图 Planar Graph

若能将无向图 \(G\) 边不相交地画在平面上，则称 \(G\) 为可平面图，简称平面图。所画出的图称为 \(G\) 的平面嵌入（Planar Embedding）。

由 \(G\) 的平面嵌入所分割出的区域称为面（Face）。注意，任意平面图都有一个无穷大的“外面”（即除所有有限面外剩下的那个无穷大面），称为无限面或外部面，用 \(R_0\) 表示，其余有限面用 \(R_1, R_2, \dotsb\) 表示。面 \(R_i\) 的次数是边界的长度，也就是边数，记作 \(deg(R_i)\)。所有面的次数之和为边数的两倍。

若在平面图 \(G\) 中再加任意一条边都会使 \(G\) 变为非平面图，则称 \(G\) 为极大平面图。极大平面图是连通的，且 \(n \ge 3\) 阶极大平面图中没有割点和割边。\(G\) 为 \(n \ge 3\) 阶极大平面图当且仅当 \(G\) 是简单平面图且每个面的次数都为 \(3\)。

若去掉任意一条边会使得 \(G\) 变为非平面图，则称 \(G\) 为极小平面图，此时 \(G\) 必为简单图。

平面图欧拉公式

设 \(G = (V, E, F)\) 为连通平面图，则

\[|V| - |E| + |F| = 2 \]

推论：

• 若平面图 \(G\) 有 \(k\) 个连通分量，则 \(|V| - |E| + |F| = k + 1\)。这是因为所有连通分量共用 \(R_0\)。

• 若 \(G\) 为简单平面图，则 \(|E| \le 3|V| - 6\)，且 \(\delta(G) \le 5\)。

平面图判定定理

若 \(G_1\) 与 \(G_2\) 在反复进行插入二度点和消去二度点的操作后同构，则称 \(G_1\) 与 \(G_2\) 同胚。

• \(G\) 是平面图，当且仅当 \(G\) 不含同胚于 \(K_5\) 或 \(K_{3, 3}\) 的子图；
• \(G\) 是平面图，当且仅当 \(G\) 中无可收缩的 \(K_5\) 或 \(K_{3, 3}\) 子图。

平面图的对偶图

将 \(G\) 的所有面变为点，所有共边的面对应的顶点间连边，则得到 \(G\) 的对偶图 \(G^*\)。若某条边只出现在一个面中，则对偶图中该面的顶点连一条自环。显然有 \(deg(R_i) = d(v^*_i)\)。

若 \(G\) 是连通图，则 \((G^*)^*\) 与 \(G\) 同构。\(G\) 中的桥与 \(G^*\) 中的自环构成双射，\(G\) 中的自环对应 \(G^*\) 中的桥。

若 \(G^*\) 与 \(G\) 同构，则称 \(G\) 是自对偶图。

轮图 Wheel Graph

轮图是由一个大小为 \(n - 1\) 的环和一个中心顶点组成的，中心顶点向环上所有点均有连边。大小为 \(n\) 的轮图记作 \(W_n\)。

轮图是 \(3-\)连通的，且是自对偶图。所有轮图都有哈密顿回路（只需从中心点出发，按照顺时针或逆时针遍历环，并回到中心点）。

\(K_4\) 是最小的轮图（只需将其当作四面体，那么俯视图即是一个轮图）。

图着色 Graph Coloring

点着色 Vertex Coloring

给图 \(G\) 的每个顶点分配一种颜色，使得相邻顶点颜色不同，称为图 \(G\) 的一种点着色。

若能够用 \(k\) 种颜色对图 \(G\) 进行点着色，则称 \(G\) 是 \(k-\)可着色的。

图 \(G\) 的色数记作 \(\chi(G) = k\)，这说明要给 \(G\) 进行点着色，至少需要 \(k\) 种颜色。色数 \(\chi(G)\) 满足 \(\chi(G) \le \Delta(G) + 1\)。

\(\chi(K_n) = n\)，且对于任意二分图 \(G\) 有 \(\chi(G) = 2\)。偶圈的色数为 \(2\)，奇圈的色数为 \(3\)，这也说明二分图中不能有奇圈。

Brooks 定理：\(G\) 不是完全图，当且仅当 \(\chi(G) \le \Delta (G)\)。

对于奇阶轮图，\(\chi(W_n) = 3\)；偶阶轮图 \(\chi(W_n) = 4\)。这是因为中心点的颜色必须与其余所有点不同，而奇阶轮图环上（偶圈）的色数为 \(2\)，偶阶轮图环上色数为 \(3\)。

Welch-Powell 算法

按度数降序考虑每个顶点 \(u\)，在已经涂的颜色中选择度数差距与 \(u\) 最小的、且与 \(u\) 不相邻的颜色分配给 \(u\)。显然，这并不能保证得到颜色数最小的着色，尽管实际表现较为优秀。

地图的面着色 Map Coloring

地图即连通的无桥平面图（简单平面图）的平面嵌入，所有的面即为“国家”，相邻的国家间至少有一条公共边。地图 \(G\) 的面着色数记作 \(\chi^*(G)\)。

显然，地图 \(G\) 是 \(k-\)面可着色的当且仅当其对偶图 \(G^*\) 是 \(k-\)可着色的。

四色定理（Four Color Theorem）：任意简单平面图的色数 \(\chi(G) \le 4\)，也即任意地图的面着色数 \(\chi^*(G) \le 4\)。

边着色 Edge Coloring

即相邻边具有不同颜色。图 \(G\) 的边着色数记作 \(\chi^{'}(G)\)。

边着色的上下界由 Vizing 定理给出：

Vizing 定理：对于任意无向简单图 \(G\)，有

\[\Delta(G) \le \chi^{'}(G) \le \Delta(G) + 1 \]

对于奇数阶完全图，\(\chi^{'}(K_n) = n\)；对于偶阶完全图，\(\chi^{'}(K_n) = n - 1\)。

完全二分图的边着色数 \(\chi^{'}(K_{m, n}) = \max(n, m)\)。

对于轮图，\(n \ge 4\) 时，\(\chi^{'}(W_n) = n - 1\)，这是因为只需为 \(n - 1\) 个辐条染色，环上的边只需根据辐条颜色交替染色即可。

偶圈的边着色数为 \(2\)，奇圈的边着色数为 \(3\)。