从 Dilworth 定理到 Hall 定理

实际上是从集合论（公选课）的结课论文里摘出来的。

由于整篇论文不知道为什么只得了很少的分，所以不给你们看全文

证明有部分来自 Hall's Marriage Theorem, Brilliant Math & Science Wiki，非常好证明，使我的大脑旋转。

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从 \(\text{Dilworth}\) 定理到 \(\text{Hall}\) 定理

​ 若 \(A\) 上的二元关系 \(R\) 满足 \(\forall x \in A, (x, x) \notin R\)（反自反性）、\(\forall (x, y) \in R, (y, x) \notin R\)（非对称性）和传递性，则称 \(R\) 是一个严格偏序关系，记为 \(\lt\)。

​ 若满足自反性、\(\forall (x, y) \in R, (y, x) \in R \implies x = y\)（反对称性）和传递性，则称 \(R\) 是一个偏序关系，记为 \(\le\)，并且称 \(A\) 为偏序集。

​ 若 \(A\) 中的任意两个元素都可比，即 \(\forall x, y \in A, (x, y) \in R \lor (y, x) \in R\)，则 \(A\) 为全序集。

​ 假设 \(A\) 为偏序集，其上的偏序关系为 \(\le\)，若 \(B \subset A\) 为全序集，则称 \(B\) 为一条链。若 \(B \subset A\) 中任意两个元素都不可比（\(\forall x, y \in B, x \ne y \implies \neg(x \le y \lor y \le x)\)），则称 \(B\) 为一条反链。

​ 下面给出两个基于有限偏序集的定理（事实上它们是对偶的）：

定理 1（\(\text{Dilworth}\) 定理）：有限偏序集 \(A\) 的宽度（最长反链长度）等于 \(A\) 的最小链覆盖数。

证明：考虑数学归纳法，首先 \(|A| \le 2\) 的情况显然是成立的（若两个元素可比，则宽度和最小链覆盖数都是 \(1\)，否则都是 \(2\)）。假设 \(|A| \le m\) 的情况成立，以下证明 \(|A| = m + 1\) 的情况成立：令 \(A\) 的宽度为 \(l\)，若 \(A\) 中没有链（所有元素都不可比），则 \(l = |A|\)，这与链覆盖的大小是一样的；否则，从 \(A\) 中选出一条极长的链，假设其最小元为 \(a\)，最大元为 \(b\)，用 \(\{a, b\}\) 表示这条链，由于去掉这条链上的元素不改变剩下的元素的可比性，故宽度不会增大，并且至多减少 \(1\)（设 \(x \in \{a, b\}\)，若 \(x\) 在原先的最长反链中，则 \(\forall y \in \{a, b\}, y \ne x\) 都不在原先的最长反链中）。假设 \(A \setminus \{a, b\}\) 的宽度为 \(l - 1\)，则根据归纳假设，可以用 \(l - 1\) 条链覆盖 \(A \setminus \{a, b\}\)，则可以用这些链和 \(\{a, b\}\) 覆盖 \(A\)；否则其宽度为 \(l\)，假设其最长的一条反链为 \(C\)，考虑构造两个大小小于 \(m + 1\) 的集合，利用它们的链覆盖构造一组 \(A\) 的链覆盖：

\[S_1 = \{x \mid x \in A \land \exist y \in C, x \le y \} \\ S_2 = \{x \mid x \in A \land \exist y \in C, y \le x \} \]

性质 1：\(S_1 \bigcup S_2 = A\)。

证明：假设 \(\exist x \in A \setminus C, x \notin S_1 \land x \notin S_2\)，则 \(\forall y \in C, \neg(x \le y \lor y \le x)\)，则 \(C \bigcup \{x\}\) 为 \(A\) 的大小为 \(l + 1\) 的反链，矛盾，故 \(\forall x \in A \setminus C, x \in S_1 \lor x \in S_2\)。同时又有 \(C \subset S_1, C \subset S_2\)，故 \(S_1 \bigcup S_2 = (A \setminus C) \bigcup C = A\)。

性质 1 保证了 \(S_1, S_2\) 的链覆盖之并可以覆盖 \(A\)。

性质 2：\(S_1 \bigcap S_2 = C\)。

证明：\(\forall x \in S_1 \bigcap S_2\)，\(\exist y_1 \in C, x \le y_1 \land \exist y_2 \in C, y_2 \le x\)，假设 \(y_1 \ne y_2\)，则根据传递性可知 \(y_1 \le y_2\)，这与 \(y_1, y_2 \in C\) 矛盾，故 \(y_1 = y_2\)。由反对称性可知 \(x = y_1 = y_2\)，故 \(S_1 \bigcap S_2 \subset C\)；又 \(C \subset S_1, C \subset S_2 \implies C \subset S_1 \bigcap S_2\)，故 \(S_1 \bigcap S_2 = C\)。

性质 2 保证了 \(S_1\) 和 \(S_2\) 的链覆盖若相交，则交集一定是 \(C\) 的子集。

性质 3：\(|S_1| \le m, |S_2| \le m\)。

证明：假设 \(\exist y \in S_2, y \le a\)，因 \(\{a, b\}\) 极长，故 \(y \in \{a, b\}\)，则 \(\{a, b\}\) 的最小元应为 \(y\)，矛盾，故 \(a \notin S_2\)，故 \(|S_2| \le m\)；同理可以证明 \(|S_1| \le m\)。

由性质 3 及归纳假设，\(S_1\) 和 \(S_2\) 分别有大小为 \(l\) 的链覆盖 \(T_1, T_2\)。由于 \(C \subset S_1\)，故 \(C\) 中的 \(l\) 个元素分别位于 \(T_1\) 中的 \(l\) 条链上，设 \(x \in C\) 在 \(T_1\) 中的 \(C_{1, x}\) 链上；同理，设 \(x\) 在 \(T_2\) 中的 \(C_{2, x}\) 链上。根据性质 2，\(C_{1, x} \bigcap C_{2, x} = x\)，并且根据传递性，\(\forall y_2 \in C_{2, x}\) 均有 \(\forall y_1 \in C_{1, x}, y_2 \le y_1\)，故 \(C_{1, x} \bigcup C_{2, x}\) 为 \(A\) 的一条链。则考虑链集 \(\{C_{1, x} \bigcup C_{2, x} \mid x \in C\}\)，其大小为 \(l\)，且根据性质 1，其可以覆盖 \(A\)，于是我们得到了 \(A\) 的一个大小为 \(l\) 的链覆盖。定理得证。

定理 2（\(\text{Mirsky}\) 定理）：有限偏序集 \(A\) 的最长链长度等于 \(A\) 的最小反链覆盖数。

证明：任取 \(A\) 的一个最小反链覆盖 \(T\)，设有 \(A\) 上的另一偏序关系 \(R'\)，满足对于 \(\forall C \in T\)，都有 \(C\) 是 \(R'\) 关系下的一条链，并且 \(\forall C_1, C_2 \in T, C_1 \ne C_2\)，都有 \(C_1\) 和 \(C_2\) 在 \(R'\) 关系下不可比，则该最小反链覆盖转化为 \(R'\) 关系下的一个最小链覆盖，并且原关系下的最长链变为 \(R'\) 关系下的最长反链，根据 \(\text{Dilworth}\) 定理，\(R'\) 关系下的最小链覆盖等于最长反链长度，于是定理得证。

​ 另一种证明方式是，设最长链长度为 \(l\)，根据反链定义，最小反链覆盖数不会小于 \(l\)（因最长链中每个元素位于不同反链）；考虑枚举极小元，设以 \(a\) 为极小元的链为 \(C_a\)，不难证明 \(|C_a| = |C_b| \iff \neg(a \le b \lor b \le a)\)（否则 \(a\) 可以加入 \(C_b\)，或 \(b\) 可以加入 \(C_a\)），设 \(AC_x = \{a \mid |C_a| = x\}\)，则反链集 \(\{AC_x \mid x = 1, 2, 3, \dotsb, l\}\) 为一个反链覆盖，而这个覆盖的大小不超过 \(l\)，故最小反链覆盖数一定为 \(l\)。

​ 利用 \(\text{Dilworth}\) 定理可以推导图论中的 \(\text{Hall}\) 定理：

定理 3（\(\text{Hall}\) 定理）：设 \(G = (X, Y, E)\) 是二分图，其中 \(X\) 为左部点集，\(Y\) 为右部点集，满足 \(|X| \le |Y|\)，设对于 \(\forall V \subseteq X, N_G(V) = \{y \mid y \in Y, \exist x \in V, (x, y) \in E\}\)，则二分图的 \(X\)-完美匹配存在，当且仅当 \(\forall V \subseteq X, |N_G(V)| \ge |V|\)。

证明：先证充分性。不失一般性地，假设 \(N_G(X) = Y\)（否则可以从 \(Y\) 中去掉所有度数为 \(0\) 的点），设 \(X = \{x_1, x_2, \dotsb, x_{n}\}\)，\(Y = \{y_1, y_2, \dotsb, y_m\}\)（\(n \le m\)），考虑集合

\[A = \{y_1, y_2, \dotsb, y_m, N_G(\{x_1\}), N_G(\{x_2\}), \dotsb, N_G(\{x_n\})\} \]

钦定 \(A\) 上的偏序关系 \(\le\) 为：\(y_i \le N_G(\{x_j\}) \iff y_i \in N_G(\{x_j\})\)，并且 \(y_i\) 之间不可比，\(N_G(\{x_i\})\) 之间不可比。

性质：\(A\) 的最长反链为 \(Y\)。

证明：假设新加入 \(d\) 个 \(N_G(\{x_j\})\)，设为 \(N_G(\{x_{p_1}\}), N_G(\{x_{p_2}\}), \dotsb, N_G(\{x_{p_d}\})\)，则 \(\displaystyle \forall y_i \in \bigcup_{i = 1}^{d} N_G(\{x_{p_i}\})\) 都应从反链中去除，由于 \(\displaystyle \left|\bigcup_{i = 1}^{d} N_G(\{x_{p_i}\})\right| = \left| N_G(\bigcup_{i = 1}^{d}\{x_{p_i}\}) \right| \ge d\)，故此操作后反链的长度不会增大，故 \(Y\) 是最长的反链。

根据 \(\text{Dilworth}\) 定理，\(A\) 存在一个大小为 \(m\) 的链覆盖，每个 \(y_i\) 位于不同的链上，且每条链要么形如 \(\{y_i\}\)，要么形如 \(\{y_i, N_G(\{x_j\})\}\)，满足 \(y_i \in N_G(\{x_j\})\)。忽略所有形如 \(\{y_i\}\) 的链，就找到了图 \(G\) 上一组大小为 \(n\) 的匹配。

​ 再证必要性。假设 \(x_j \in X\) 的匹配点为 \(m_j\)，则上述集合 \(A\) 有一个大小为 \(m\) 的链覆盖：对于每个 \(m_j\)，其所在链为 \(\{m_j, N_G(\{x_j\})\}\)；对于任意 \(Y\) 中剩余的点 \(y_i\)，其所在链为 \(\{y_i\}\)。根据 \(\text{Dilworth}\) 定理，\(A\) 的最长反链长度不会大于 \(m\)。假设 \(\exist V \subseteq X, |N_G(V)| \lt |V|\)，则 \(A\) 的一条反链为 \((Y \setminus N_G(V)) \bigcup \{N_G(\{x\}) \mid x \in V\}\)，该反链长度是 \(m - |N_G(V)| + |V| \gt m\)，矛盾！于是必要性得证。由此，定理得证。