随笔分类 -  数学基础

摘要：威尔逊定理  当且仅当 $p$ 为质数时，$(p 1)! \equiv 1(mod\ p)$ 。即: $p$ 为质数 $\Leftrightarrow (p 1)! \equiv 1(mod\ p)$ 。 威尔逊定理的证明 必要性 易得：$(p 1)!\equiv 1(mod\ p)\Le 阅读全文

摘要：卢卡斯定理  Lucas定理是用来求组合数 $c(n,m) mod\ p$ ， $p$ 为素数 的值。被用来做大组合数取模。 我们令 $n = sp + q, m = tp + r$ ，其中 $q, r 0, p f$ 。 然后，我们又有： $$\begin{split} (1+x)^n 阅读全文

摘要：贝祖定理  如果 $a,b$ 是整数，那么一定存在整数 $x,y$ 使得 $ax+by=gcd(a,b)$ 。 判断有解性  如果 $ax+by=m$ 有解，那么 $m$ 一定是 $gcd(a,b)$ 的若干倍。如果 $ax+by=1$ 有解，那么 $gcd(a,b)=1$ 。 阅读全文

摘要：[TOC] 集合与元素 集合与元素：集合是元素的全体。 标记法  集合通常用大写字母表示，元素通常用小写字母表示。术语“$p$ 是 $A$ 的元素”等价于“$p$ 属于 $A$”，记作 $p\in A$ 。 外延公理  两个集合 $A$ 和 $B$ 相等当且仅当其元素相同。如果集 阅读全文

摘要：**条件概率** 条件概率公式如下：**条件概率的链式法则** ​由条件概率的定义，可直接得出如下的乘法公式：设 $A, B$ 是两个事件，并且 $P(A) > 0$ ，则有： 阅读全文

摘要：## 特征值分解与特征向量 * 特征值分解可以得到特征值与特征向量； * 特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么。 如果向量 $\vec{v}$ 是方阵 $A$ 的特征向量，那么有： 阅读全文

摘要：[TOC] 导数和偏导计算 导数 导数  代表在自变量变化趋于无穷小的时候， 函数值的变化 与 自变量的变化 的比值。 几何意义 是这个点的切线。 物理意义 是该时刻的（瞬时）变化率。 ​ 在一元函数中，只有一个自变量变动，也就是说只存在一个方向的变化率，所以不存在偏导数。一般的，这样定义 阅读全文

摘要：[TOC] ## 矩阵的括号形式 使用`matrix`、`pmatrix`、`bmatrix`、`Bmatrix`、`vmatrix`或者`Vmatrix`环境： 阅读全文

摘要：[TOC] 标量、向量、矩阵、张量 标量 （scalar) 一个标量表示一个单独的数。它不同于线性代数中研究的其他大部分对象（通常是多个数的数组）。我们用斜体表示标量。标量通常被赋予小写的变量名称。 向量 （vector） 一个向量表示一组有序排列的数。通过次序中的索引，我们可以 阅读全文