离散数学--集合论
集合与元素
集合与元素：集合是元素的全体。
标记法 集合通常用大写字母表示，元素通常用小写字母表示。术语“\(p\) 是 \(A\) 的元素”等价于“\(p\) 属于 \(A\)”，记作 \(p\in A\) 。
外延公理 两个集合 \(A\) 和 \(B\) 相等当且仅当其元素相同。如果集合 \(A\) 和 \(B\) 相等，则记作 \(A=B\)，否则记作 \(A\ne B\) 。
集合的表示 集合有两种基本的表示方法：一是枚举元素，二是描述元素的特征性质。例如：\(V = \{a,e,i,o,u \}\) 或 \(V = \{x\ |\ x\text{是元音字母} \}\) 。
常用的集合及其表示
| 符号 | 意义 |
|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | 全体非负整数 |
| \(\mathbb{Z}\) | 全体整数 |
| \(\mathbb{Q}\) | 全体有理数 |
| \(\mathbb{R}\) | 全体实数 |
| \(\mathbb{C}\) | 全体复数 |
全集与空集
全集 记号为 \(U\) 。
空集 没有元素的集合，又称“零集”，记号为 \(\varnothing\)，或者 \(\{ \}\) 。
空集的特性
- \(\forall A : A\subseteq \varnothing \Rightarrow A = \varnothing\)
- \(p(\varnothing) = \{ \varnothing \}\)
- \(card(\varnothing)=0\)
- \(\forall A : \varnothing \subseteq A ;\ A \cup \varnothing = A;\ A \cap \varnothing = \varnothing; \ A \times \varnothing = \varnothing\)
子集
如果集合 \(A\) 的每个元素都是集合 \(B\) 的元素，则称 \(A\) 为 \(B\) 的一个子集。也称 \(A\) 包含于 \(B\) 或者 \(B\) 包含 \(A\) 。记作 \(A\subseteq B\) 。
集合的运算
集合的并交
属于 \(A\) 或者属于 \(B\) 的所有元素的集合，称为集合 \(A\) 和 \(B\) 的并集，记作 \(A\cup B\)，即 \(A\cup B = \{ x:x\in A\ \text{或}\ x\in B \}\) 。
属于 \(A\) 并且属于 \(B\) 的所有元素的集合，称为集合 \(A\) 和 \(B\) 的交集，记作 \(A\cap B\)，即 \(A\cap B = \{ x:x\in A\ \text{且}\ x\in B \}\) 。
集合的补
所有属于全集 \(U\) 但不属于 \(A\) 的元素构成的集合，记作 \(A'\) 或者 \(A^c\) 。即：
相对补/差
集合 \(B\) 关于集合 \(A\) 的相对补，或称集合 \(A\) 与集合 \(B\) 的差，记作 \(A-B\) ，是由所有属于 \(A\) 但不属于 \(B\) 的元素构成的集合，即：
集合的基本积
对于 \(n\) 个不同的集合 \(A_1, A_2, \cdots, A_n\) 它们的基本积是以下形式的任一集合：
对称差
集合 \(A\) 和 \(B\) 的对称差，记作 \(A\oplus B\) 。是所有属于 \(A\) 或 \(B\) 但不同时属于 \(A\) 和 \(B\) 的元素的集合。即：
集族，幂集和集合的划分
集族
集合的集合称为集类或者集族。集族中的元素（集合），称为子类或子族。
幂集
对于给定的集合 \(S\) ，其所有可能子集的族，称为集合 \(S\) 的幂集。记作：\(Power(S)\) 。如果 \(S\) 为有限集，则 \(Power(S)\) 也是有限集。
划分
设 \(S\) 是一个非集合，\(S\) 的一个划分是将 \(S\) 剖分为一些不交叠的非空子集。即：\(S\) 的一个划分是 \(S\) 的一族非空子集 \(\{A_i\}\) 满足：
- \(S\) 中的每个元素 \(a\) 属于一个 \(A_i\) ；
- \({A_i}\) 中的集合互不相交，即对于两个不同的集合，\(A_i ∩ A_j = 0\) 。
划分中的子集叫胞腔。
