威尔逊定理总结

威尔逊定理 当且仅当 \(p\) 为质数时，\((p-1)! \equiv -1(mod\ p)\) 。即: \(p\) 为质数 \(\Leftrightarrow (p-1)! \equiv -1(mod\ p)\) 。

威尔逊定理的证明

必要性

易得：\((p-1)!\equiv -1(mod\ p)\Leftrightarrow p|(p-1)!+1\) 。

假设 \(p\) 不是质数，\(a\) 是 \(p\) 的质因子。我们有：\(a | (p-1)!\) ，\(a \not| (p-1)!+1\) 。而由上式我们可知：\(p|(p-1)!+1 \Rightarrow a|(p-1)!+1\) 。

前后矛盾，故 \(p\) 一定为质数。

充分性

参考