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摘要： 所谓分离变量法就是将耦合在一起的不同变量给拆开，然后将关于耦合了不同变量的偏微分方程转化为各个不同变量自己的常微分方程。这里以弦振动问题的物理方程为例来介绍分离变量法。 弦振动问题 弦振动问题的方程为 $\left{\begin{aligned} & \frac{\partial^2u}{\part 阅读全文

摘要： 在马氏链的长程性质和其稳态概率那里我们讨论都是常返马氏链(不可约)在某个状态上停留的时间比例，这个时间比例也称为稳态概率，它等于这个不可约的常返马氏链从状态$j$出发首次回到自身所需转移次数的期望的倒数。 这里我们主要考虑有限状态的马氏链在暂态类中某个状态上的停留时间。 从暂态到暂态的停留时间 设一 阅读全文

摘要： 泛定方程和定解问题 泛定方程和叠加原理 简单来说泛定方程就是不带任何初始条件和边界条件的方程，它刻画广泛性的运动规律，不涉及具体的系统和具体的问题。泛定方程有线性和非线性之分，而线性泛定方程满足叠加原理，而叠加原理是求解线性范定方程的定解问题的强有力的工具。叠加原理是建立在线性算子上的，线性算子包括 阅读全文

摘要： 马氏链的长程性质主要关心马氏链在一段长时间的转移后，在每个状态上停留过的时间的比例，这个比例被称为长程比例，也就是常说的平稳概率，而马氏链的极限概率指的是转移矩阵在长时间演变后的一个极限。 ### 马氏链的长程性质 马氏链长程性质关心的是在长时间后，马氏链在每个状态上停留过的时间比例。这个时间比例可 阅读全文

摘要： 可达和互通 如果$P_{ij}^n>0$，则说状态$i$可达状态$j$; 并且如果$P_{ji}^m>0$则说状态$i,j$是互通的，记为$i\leftrightarrow j$ 状态类 根据互通的概念，将互通的两个状态划分到一个状态类中，并且根据互通的传递性可以知道，不同的状态类要么相等，要么不相 阅读全文

摘要： 本文主要是对顾樵老师 数物方法 一书对应章节的内容的梳理(主要为了抛砖引玉)，有一些自己的理解，如有不妥，还请慷慨指出。 化简的理论 这里所说的二阶偏微分方程主要是指二阶线性双变量偏微分方程，它的一般形式如下所示： $A\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+2B\frac 阅读全文

摘要： C-K方程的两个例子(2) 例2 在一系列独立抛掷一个公平硬币的实验中，以$N$记直至出现连续3次正面的抛掷次数，求(1)$P(N\leq8)$ (2)$P(N=8)$ 如果采用朴素的概率解法，就是利用二项分布然后结合排列组合进行求解。这里使用马尔科夫链来进行求解，为什么可以用马氏链来求解这个问题呢 阅读全文

摘要： C-K方程的两个例子(1) C-K方程 马尔科夫链的一步转移概率矩阵$P$好理解，而它的$n$步转移概率矩阵$P$应该是如下的定义： $P_{i,j}^n = P{X_{n+k}=j|X_k = i}$ 而$C-K$(查普曼-柯尔莫哥洛夫)方程$P_{i,j}^{n+m} =\sum_{k} P_{ 阅读全文

摘要： 拉氏变换(拉普拉斯变换) 一个函数的傅氏变换存在的充分条件是一方面是这个函数必须是绝对可积的，另一方面是这个函数必须在$(-\infty,\infty)$上有定义。对于那些定义在$(0,\infty)$上的任意函数，傅氏变换不一定存在。所以为了使得对定义在$(0,\infty)$上的任意函数也可以进 阅读全文

摘要： 傅氏级数 傅氏级数和泰勒级数一样，是一种函数展开，与泰勒级数不同的是，傅氏级数的基底函数不是多项式，而是三角函数1,$cosnx$, $sinnx$，它保证了在$[0,2\pi]$的区间上这些基底函数是正交的，即：$$\int_{0}^{2\pi}cosnx sinnx = 0$$ 。这样展开的思路 阅读全文