数理方程中定解问题的求解法(二)--分离变量法

所谓分离变量法就是将耦合在一起的不同变量给拆开，然后将关于耦合了不同变量的偏微分方程转化为各个不同变量自己的常微分方程。这里以弦振动问题的物理方程为例来介绍分离变量法。

弦振动问题

弦振动问题的方程为
\(\left\{\begin{aligned} & \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2u}{\partial x^2}\\ &u|_{t = 0} = \phi(x), \frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0} = \psi(x)\\ &u|_{x = 0} = 0, u|_{x = L} = 0 \end{aligned}\right.\)

上面的方程组中后面两个方程分别是弦振动问题的初始条件和边界条件(其中边界条件还是第一类边界条件)。在使用分离变量法来求解这个系统时，首先假设\(u(x,y)\)可分解，即\(u(x,t) = X(x)T(t)\), 然后将这个式子带入到它的运动方程中得到
\(\frac{X^{''}}{X} = \frac{T^{''}}{a^2T}\)
这里需要说明的是得到这个式子要求泛定方程必须是齐次的，否则会因为多出一项而不能分离变量
接着两边对\(x\)求导，由于右边没有\(x\)项，所以导数为0，进而得到下面的式子
\(\left\{ \begin{aligned}&X^{''} + \lambda X(x) = 0\\ &T^{''}+\lambda a^2T(t) = 0\end{aligned} \right.\)
这两个方程都可以分别看做关于\(X\)和\(T\)的本征方程(偏微分是线性算子，线性算子作用在函数上，等于特征值作用在函数上)，先来解第一个本征方程，将关于\(x\)的边界条件带入有
\(\left\{ \begin{aligned}&X^{''} + \lambda X = 0 \\ &X(0) = 0, X(L) = 0\end{aligned}\right.\)
这样上面这个带条件的常微分方程得到 \(X_n(x) = B_n\sin (\frac{n\pi x}{L})\ ,n = 1,2,3,...\)且\(\lambda = \lambda_n = (\frac{n\pi}{L})^2\). 完事儿以后把这个\(\lambda_n\)再带回到\(T\)的本征方程中再解关于\(T\)的常微分方程
\(T^{''}+(\frac{an\pi}{L})^2T(t) = 0\)
这里暂不考虑\(T\)的初始条件是因为由于\(\phi(x)\)以及\(\psi(x)\)没有具体形式，所以没法解出\(T(0)\)的具体值(实际上知道了具体形式要解出来也够呛)。这个关于\(T\)的常微分方程的通解是
\(T_n(t) = c_n \cos(\frac{an\pi t}{L})+d_n\sin(\frac{an\pi t}{L})\ ,n = 1,2,...\)
这样通过\(u(x,y) = X(x)T(t)\)就得到泛定方程的一般解:
\(u_n(x,t) = (C_n \cos(\frac{an\pi t}{L})+D_n\sin(\frac{an\pi t}{L}))\sin (\frac{n\pi x}{L})\)
又因为泛定方程是一个线性方程是，所以根据叠加原理，如果级数
$u(x,t) = \sum_{n}^\infty (C_n \cos(\frac{an\pi t}{L})+D_n\sin(\frac{an\pi t}{L}))\sin (\frac{n\pi x}{L}) $ 收敛，那么\(u(x,y)\)的一般解就得到了。这里为了确定\(C_n\)和\(D_n\)，需要使用到初始条件，将初始条件带入后得到
\(\phi(x) = \sum_{n = 1}^\infty C_n \sin\frac{n\pi x}{L}\)
\(\psi(x) = \sum_{n=1}^\infty D_n \frac{an\pi }{L}\sin\frac{n\pi x}{L}\)
从这里的形式可以看出\(C_n,D_n\)实际上是\(\phi(x)\)和\(\psi(x)\)的半幅傅里叶级数的展开系数，所以使用那里的求系数的公式就可以求出这里的系数。至此我们就使用分离变量法得到了上面的泛定方程以及初始条件描述的系统的解。

分离变量法使用条件和步骤

分离变量法使用的条件

1. 泛定方程必须是线性齐次的(保证变量可以分离开)
2. 边界条件必须是其次的(注意是边界条件，好像边界条件或者初始条件有一个是齐次的也可以)

分离变量法的使用步骤

1. 首先把\(u(x,y)\)硬写成\(u(x,y) = X(x)Y(y)\)的形式
2. 将上述式子反带回泛定方程中得到各个分离变量的常微分方程
3. 结合对应的条件，解可解的常微分方程得到本征值\(\lambda_n\)和本征解\(X_n(x)(\text{或者}Y_n(y))\)
4. 把\(\lambda_n\)带回另一个变量的常微分方程中得到解，并求出\(u_n(x,y) = X_n(x)Y_n(y)\)
5. 最后根据叠加原理得到\(u(x,y)=\sum_n^\infty u_n(x,y)\), 利用初始条件确定未知系数