不等式

不等式的难度主要在于放缩以及“注意到”，但有时我们就是很难“注意到”，更不知道如何注意到，接下来我就来将一下我自己的理解。

Question 1

已知 $a,b,c,d\in \reals _+ $，且 \(a^2+b^2+c^2+d^2=1\)，证明：

\[a+b+c+d+\frac{1}{abcd} \ge 18 \]

分析

如果我们直接使用平均值不等式的话，那么有

\[a+b+c+d+\frac{1}{abcd} \ge 5 \sqrt[5]{abcd\times \frac{1}{abcd}}=5 \]

发现等号取不到。我们反过来思考，如果我们要运用平均值不等式，又要让等号取到，即当 \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\) 时，\(\frac{k}{abcd}=\frac{1}{2}\)，则 \(k=\frac{1}{32}\)。但是剩下的 \(\frac{31abcd}{32}\) 怎么办呢？我们也可以想办法求出范围。由于 \(1=a^2+b^2+c^2+d^2 \ge 4 \sqrt{abcd}\)，所以 \(\frac{1}{abcd} \ge 16\)。结合两个则有 \(a+b+c+d+\frac{1}{abcd} \ge 18\)，当且仅当 \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\) 时，等号成立。

此不等式看起来就是一个简单的平均值不等式，但是坑点在于等号能否取到。考虑完这个之后，我们可以先凑出可以使用平均值不等式的项，在对剩下的项求范围即可。

Question 2

\(x,y,z \in \reals_+\)，证明：

\[3(x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz})\le 4(x+y+z) \]

分析

这个不等式在形式上很像基本不等式，于是尝试一下

\[3(x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz})\le 3(x+\frac{x+y}{2}+\frac{x+y+z}{3})=\frac{11}{2}x+\frac{5}{2}y+z \]

由于 \(x,y,z\) 的系数不一，所以我们无法进行下一步操作。

那么我们有什么办法可以做到运用完基本不等式后系数一模一样呢？考虑使用待定系数法。

但是如果考虑使用朴素的待定系数法的话，我们解方程可能会解很久，所以数学竞赛更多的是靠感觉和经验。

将原式配凑成这样

\[\sqrt{xy}=\frac{1}{2}\sqrt{x\times 4y}\le\frac{1}{2}\times \frac{x+4y}{2} \]

\[\sqrt[3]{xyz}=\frac{1}{4}\sqrt[3]{x\times 4y\times 16z}\le\frac{1}{4}\times \frac{x+4y+16z}{3} \]

所以原式就小于等于右边的相加，结果恰好是 \(4(x+y+z)\)，这种题目很神奇，运用了两次配凑的基本不等式既能达到目的，也能保证等号取到。

Question 3