函数迭代求值

算是一个数竞技巧吧。

Solution

给定一个函数 \(f(x)\)，求出 \(f^{(n)}(x)\)。我们将这个函数写成 \(φ^{-1}(g(φ(x)))\)，不要问我为什么，很神奇。那么 \(f^{(n)}(x)=φ^{-1}(g^{(n)}(φ(x)))\)。证明采用数学归纳法。设在 \(n-1\) 前都成立，那么则有

\[f^{(n)}(x)=f(f^{(n-1)}(x)) \]

\[\implies f^{(n)}(x)=f(φ^{-1}(g^{(n-1)}(φ(x)))) \]

\[\implies f^{(n)}(x)=φ^{-1}(g(φ(φ^{-1}(g^{(n-1)}(φ(x)))))) \]

\[\implies f^{(n)}(x)=φ^{-1}(g^{(n)}(φ(x))) \]

所以原式成立。

给一个具体的应用吧。假如函数 \(f(x)=\frac{x^2}{2x-1}\)，我们要求出 \(f^{(n)}(x)\)，我们首先将 \(f(x)\) 改写为 \(f(x)=\frac{1}{1-(1-\frac{1}{x})^2}\)。我们取 \(φ(x)=1-\frac{1}{x}\)，那么 \(φ^{-1}(x)=\frac{1}{1-x}\)，取 \(g(x)=x^2\)，那么则有 \(f(x)=φ^{-1}(g(φ(x)))\)，所以 \(f^{(n)}(x)=\frac{x^{2^n}}{x^{2^n}-(x-1)^{2^n}}\)。

然而这样的构造本蒟蒻很难不会不想到，还是经验之谈。