同余最短路

最近学习了同余最短路，过来复习一下。

Question

给定一个线性不定方程

\[\sum_{i=1}^{n}d_ix_i=y,d_i∈N_+ \]

问 \(y∈[0,k]\) 中有多少个 \(y\) 可以被上式表示。

Solution

首先考虑一个简单的。

\[ax+by+cz=w \]

其中 \(a,b,c\) 是系数，\(x,y,z\) 是变量，\(w∈[0,k]\)。

上式可以理解成有 \(x\) 个 \(a\)，\(y\) 个 \(b\)，\(z\) 个 \(c\) 组成 \(w\)。现在考虑固定了 \(a\) 前面的系数 \(x\)，那么如果我们能够表示出一个数 \(w'\)，那么 \(w'+a,w'+2a\dots\) 都能够被表示出来。不妨我们固定 \(x=0\)，那么我们要找一个 \(by+cz\) 能够表示出的最小的一个数。

但是如果仅仅是找到一个数，那么我们只能表示其加上若干倍 \(a\) 的数，这些数都与 \(a\) 同余。所以我们用 \(f_i\) 表示 \(by+cz\) 模 \(a\) 为 \(i\) 的最小数即可。

那么怎么找呢？这就来到了同余最短路的精髓所在，图论建模。考虑建 \(a\) 个点，编号为 \(0\dots a-1\)，对于编号为 \(i\) 的点，我们可以通过加一个 \(b\)，加一个 \(c\) 得到另外的模 \(a\) 的数，所以建立有向边 \(i\) 到 \((i+b)\bmod a\)，权值为 \(b\)，\(i\) 到 \((i+c)\bmod a\)，权值为 \(c\)，然后跑一遍最短路就可以得到 \(f_i\) 了。

最后就是统计答案。对于 \(f_i\)，我们知道，\(f_i+a,f_i+2a\dots f_i+sa\) 都可以被表示出来。由式子 \(f_i+sa≤k\)，可以知道 \(0≤s≤\lfloor \frac{k-f_i}{a} \rfloor\)。所以个数为

\[\sum_{i=0}^{a-1}\lfloor \frac{k-f_i}{a} \rfloor+1 \]

注意实际操作中，如果不能表示出模 \(a\) 等于 \(i\) 的数，其 \(f_i\) 的值应该为 \(∞\)，统计答案时要注意特判。

讲完三个的情况，那么对于一开始的问题就很简单了。

下面分析一下时间复杂度。总共有 \(N=\min\{d_i\}\) 个点，每一个点连接 \(n-1\) 条边，在一个点数为 \(N\)，边数为 \(N\times(n-1)\) 的图上跑 \(dij\)，时间复杂度为 \(O(nN\log N)\)。

Practice

题目链接：
P3403 跳楼机
P2662 牛场围栏
P2371 墨墨的不等式
都是同余最短路板子题。