physics

\((1):\) 当 \(F=36N\) 时，求木板加速度。

首先我们要考虑木块和木板有没有发生相对滑动，这样我们才能判断摩擦力的大小。

由于 \(F=36N>μ_2(m_块+m_板)g=0.6*4.4*10=26.4N\)，所以木板在地面上滑动了。然后在判断木块与木板有没有相对滑动。先假设没有相对滑动，设木块受到的静摩擦力为 \(f_静\)。对木块和木板整体受力分析有

\[(m_块+m_板)a=F-μ_2(m_块+m_板)g \]

解得 \(a=\frac{24}{11}\)。

然后对木块受力分析，它只受到一个向左的静摩擦力 \(f_{静}\)，所以有

\[m_块a_块=f_静,a_块=a=\frac{24}{11} \]

解的 \(f_{静}=\frac{144}{55}\)。由于是静摩擦力，所以

\[f_静≤f_滑=μ_1m_块g=0.1\times 1.2\times 10=1.2N \]

但是 \(\frac{144}{55}N>1.2N\)，所以矛盾！

所以木块也与木板发生了相对滑动。那么对于木板受力分析有

\[m_板a_板=F-μ_2(m_块+m_板)g-μ_1m_块g \]

解得 \(a_板=\frac{21}{8}\)

\((2):\)
分析木块的加速度大小。

首先受力分析，由于木块与木板发生了相对滑动，所以只受到一个向左的滑动摩擦力 \(f=μ_1m_块g=1.2N\)，所以 \(a_块=\frac{f}{m_块}=1\)，且加速度方向向左。但是此时木板也有一个向左的加速度 \(a_板=\frac{21}{8}\)，所以木块相对于木板其实有一个向右的加速度 \(a_相=a_板-a_块=\frac{13}{8}\)。公式 \(v_t^2-v_0^2=2ax\)，所以 \(v^2-0^2=2\times \frac{13}{8}\times 1.17\)，\(v=\frac{39}{20}\)。所以有用时间为 \(t=\frac{v}{a_相}=1.2s\)

\((3):\)
首先分析木板有没有发生滑动，由于 \(μ_2(m_块+m_板)g=26.4N<F=31.6\)，所以木板在地面上滑动了。然后再分析木块有没有滑动如果没有相对滑动，首先整体受力分析求出整体加速度

\[a_整=\frac{F-μ_2(m_块+m_{板})g}{m_块+m_板}=\frac{13}{11} \]

然后对木块受力分析，只受到一个向左的静摩擦力 \(f_{静}\)

\[a_块=\frac{f_静}{m_块} \]

由于 \(a_块=a_整=\frac{13}{11}\)，可以解得 \(f_{静}=m_块a_块=\frac{6}{5}\times \frac{13}{11}=\frac{78}{55}\)，由于是静摩擦力，所以有

\[f_{静}≤μ_1m_块g=1.2=\frac{6}{5}=\frac{66}{55} \]

但是 \(\frac{78}{55}>\frac{66}{55}\)，矛盾！所以木块和木板还是发生了相对滑动。

同理分析两者加速度。

木块受到向左的滑动摩擦力，所以

\[a_块=\frac{μ_1m_块g}{m_块}=0.1\times 10=1 \]

木板受到两个滑动摩擦力

\[a_板=\frac{F-μ_2(m_块+m_板)g-μ_1m_块g}{m_板}=\frac{5}{4} \]

那么木块有一个相对于木板向右的加速度

\[a_相=a_板-a_块=\frac{1}{4} \]

当经过 \(t=1s\)，时，木块相对于木板运动了 \(x_1=\frac{1}{2}a_相t^2=\frac{1}{8}\)。

此后拉力 \(F\) 消失了。此时 \(v_块=a_块t=1,v_板=a_板t=\frac{5}{4}\)，他们两个还会发生相对滑动。此时继续分析他们两个的加速度大小。

首先对木板。它受到两个滑动摩擦力，所以

\[a'_{板}=\frac{μ_2(m_块+m_板)g+μ_1m_块g}{m_板}=\frac{69}{8} \]

且此加速度方向向右。
然后对于木块，他受到一个向左的摩擦力。

\[a'_{块}=\frac{μ_1m_块g}{m_块}=1 \]

方向向左。

假设现在共速，分析他们会不会保持相对静止状态。

若相对静止，还是整体法，整体此时向左滑动，有

\[a'_整=\frac{μ_2(m_块+m_板)g}{m_块+m_板}=6 \]

对木块受力分析有(受静摩擦力)

\[a''_{块}=\frac{f_静}{m_块} \]

由于 \(a''_{块}=a'_{整}=6\)，解得 \(f_静=7.2N\)。

由于是静摩擦力，所以 \(f_静≤μ_1m_块g=1.2N\)，矛盾！

所以当木板和木块共速后木块和木板不会保持相对静止，即木块和木板会向前继续运动。

当木块和木板共速后所用时间 \(t_1\) 满足

\[v_板-a'_板t_1=v_块+a'_块t_1 \]

解得 \(t_1=\frac{2}{77}s\)，此时\(v'_块=v_块+a'_块t_1=\frac{79}{77}\)，此时木块相对于木板运动了 \(x_2=x_板-x_块=v_板t_1-\frac{1}{2}a_板t_1^2-(v_块t_1+\frac{1}{2}a_块t_1^2)=\frac{1}{308}\)。此后再一次对两者进行受力分析：木块受到一个向右的滑动摩擦力，和原来一样 \(a_块=1\)，而木块受到一个木块给它的向前的摩擦力和地面给它的向后的摩擦力，\(a_板=\frac{μ_2(m_块+m板)g-μ_1m_块g}{m_板}=\frac{63}{8}\)，接下啦来木块一直向前运动到它的速度为 \(0\)，因为木板减速的快，所以只需要考虑木块减速为 \(0\) 时。

此时木块相对于木板的加速度为 \(a_相=\frac{63}{8}-1=\frac{55}{8}\)，当木块减速为 \(0\) 时，向前的位移 \(x_3=\frac{v'^2_块}{2\times a_相}=\frac{}{}\)