P11204 「Cfz Round 9」Lone

题目描述

她有一根长度为 \(m\) 的木棍。

她希望你把这根木棍分成 \(n\) 根小木棍，使得每一根小木棍的长度均为正整数，且从中任选 \(3\) 根小木棍都可以通过首尾相连的方式组成一个三角形。

你想求出，你能否满足她的愿望。

Solution

首先，如果我们将长度为 \(m\) 的木棍拆分成很多长度不同的木棍，会非常的麻烦，所以我们不妨考虑特殊一点，将长度 \(m\) 的木棍拆分成长度一样的一些木棍。例如将长度为 \(11\) 的木棍分成 \(5\) 个木棍，我们可以分为 \(2,2,2,2,3\)。更一般的，我们可以将长度为 \(m\) 的木棍划分为

\[\begin{cases}\ \{\lfloor \frac{m}{n} \rfloor,\lfloor \frac{m}{n} \rfloor\dots \lfloor \frac{m}{n} \rfloor,m-\lfloor \frac{m}{n} \rfloor \times(n-1)\} &m-\lfloor \frac{m}{n} \rfloor \times(n-1)>0并且2\times \lfloor \frac{m}{n} \rfloor>m-\lfloor \frac{m}{n} \rfloor \times(n-1)\\ \{\lfloor \frac{m}{n} \rfloor+1,\lfloor \frac{m}{n} \rfloor+1\dots \lfloor \frac{m}{n} \rfloor+1,m-(\lfloor \frac{m}{n} \rfloor+1) \times(n-1)\} &m-(\lfloor \frac{m}{n} \rfloor+1) \times(n-1)>0并且2\times (\lfloor \frac{m}{n} \rfloor+1)>m-(\lfloor \frac{m}{n} \rfloor+1) \times(n-1) \end{cases}\]

然而这样有些复杂（对于一道红题来说），所以我们尽可能只考虑不合法的情况。当上述序列只能被写成 \(1,1\dots 1,2\) 时，也就是 \(n+1=m\) 时，肯定不行，也就是 \(1,1\dots 1,2,2\dots 2\) 的时候，此时满足 \(n\times 2-1>m\) 的时候，请读者自行思考为什么要减 \(1\)。其余情况就都合法了。
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