P11156 【MX-X6-T2】もしも

题目描述

假设有正整数序列 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，其中：

• 对于 \(i\geq 3\)，满足 \(a_i\) 等于 \(\dfrac{a_{i-2}}{a_{i-1}}\) 上取整；
• 对于任意 \(1\leq i\leq n\)，满足 \(1\leq a_i\leq 10^9\)。

现在给定 \(n\) 和 \(a_n\)，求任意一组可能的 \(a_1,a_2\)。

其中一个数 \(x\) 上取整等于最小的 \(\geq x\) 的整数。例如 \(\dfrac{7}{3}\) 上取整等于 \(3\)，\(4\) 上取整等于 \(4\)。

分析

考虑构造。怎么构造呢？他说满足 \(a_i\) 等于 \(\dfrac{a_{i-2}}{a_{i-1}}\),且是向上取整，由于 \(a_n=1\times a_n\) 且 \(\frac{a_n}{1}=a_n\)，所以末三项构造 \(a_n,1,a_n\)，然后由于向上取整并且 \(a_n\) 为正整数，所以 \(\frac{1}{a_n}=1\)，那么我们便可以一直这样构造序列 \(A\) 使得

\[A=\begin{cases}\ 1,a_n,1,a_n\dots 1,a_n &n\bmod 2=0\\ a_n,1,a_n\dots 1,a_n &\text{otherwise} \end{cases} \]

可以证明上面满足所需条件。
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