[论文阅读报告] Linear-Size Hopsets with Small Hopbound, and Distributed Routing with Low Memory

本篇文章介绍 \(O(n^{1 + 1 / \kappa})\) 的 \((\beta, \epsilon)\)-hopset 做法，相比于 Hopsets with Constant Hopbound, and Applications to Approximate Shortest Paths, FOCS '16，本篇论文去掉了边数中的 \(\log \Lambda\)（或 \(\log n\)）。作者将卖点归结为，如果 \(\kappa = \log n\)，那么即使 \(\beta\) 与 \(n\) 有关，但边集大小为线性。所以也可以说：本篇文章介绍 \(O(n)\) 的 \((\beta, \epsilon)\)-hopset 做法，其中 \(\beta = O\left(\frac{\log \log n}{\epsilon}\right)^{\log \log n + O(1)}\)，相较于之前的线性 hopset 做法，\(\beta\) 有指数级的提升。

这篇论文的做法完全基于原来的做法，只是多了一些观察。不过论文借此采取了完全不同的叙述方式，不用较为复杂的 superclustering-interconnection，而是将其归结为 distance oracles（也就是我所谓的分层度数分治），但正如上一篇论文所说的，两者的思想并无太差的差别。

原来的做法对每个 \(\hat R = 2^{k + 1}\)，对距离在 \((\hat R / 2, \hat R]\) 中的路径单独构建了一个 hopset，最后将所有得到的集合取并。这样会导致边集大小乘 \(\log \Lambda\)，其中 \(\Lambda\) 表示图的直径，论文最后也给出了将其优化为 \(\log n\) 的方法，但无论如何，这样的做法导致边集大小没法线性。但在上一篇文章中，我们也讨论过每一个 hopset 之间的区别只有 \(\delta_0\) 的取值，而 \(\delta\) 并不会影响边集大小。

观察：如果我们把每一层的 hopset 放在一起看，我们发现他们的重合度非常高。

原算法过程如下

算法 0 （无向带权图 \(O(n^{1 + 1 / \kappa} \log \Lambda)\) 的 \((\beta, \epsilon)\)-hopset）

令 \(d_G^{(t)}(u, v)\) 表示使用至多 \(t\) 条边时 \(u, v\) 在 \(G\) 中的最短路。

我们对距离在 \((2^k, 2^{k + 1}]\) 中的路径构建一个 hopset \(H_k\)。\(1 \leq k \leq \log \Lambda\)。令 \(\hat R = 2^{k + 1}\)。对 \(\hat R \leq \beta\)，\(H_k = \emptyset\) 即可，因此我们考虑 \(k > \log \beta - 1\)。

Single-scale Hopset Construction

令 \(\hat {\mathcal P}_i\) 表示第 \(i\) 轮的 cluster，\(\hat {\mathcal P}_0 = \{\{v\} \mid v \in V\}\)。每个 cluster 有一个中心，最开始 \(\{v\}\) 的中心是 \(v\)。

令 \(i_0 = \lfloor \log \kappa \rfloor\)，\(\ell = i_0 + 1\) 表示轮数上界。

令 \(\alpha = \epsilon^\ell \hat R\)。对 \(0 \leq i \leq i_0\)，令 \(\delta_i = \alpha(1 / \epsilon)^i + 4R_i, R_{i + 1} = \delta_i + R_i = \alpha(1 / \epsilon)^i + 5R_i\)。\(\operatorname{deg}_i = n^{2^i / \kappa}\)。

1. 对 \(0 \leq i \leq i_0\)，

   • 以 \(1 / \operatorname{deg}_i\) 的概率从 \(\hat {\mathcal P}_i\) 中独立采样。设选出的 cluster 集合为 \(\mathcal S_i\)。
   • (superclustering) 从 \(\mathcal S_i\) 的所有中心 \(\{r_C \mid C \in \mathcal S_i\}\) 同时开始 Dijkstra，限制搜索深度为 \(\delta_i\) 条边。对所有被 \(r_C\) 访问到的中心 \(r_{C'}\)（\(C' \in \hat {\mathcal P}_i \setminus \mathcal S_i\)），将 \((r_C, r_{C'})\) 加入 \(H_k\)。将 \(C\) 和所有被其访问到的 \(C'\) 合并为一个新的 cluster \(\hat C\)，中心为 \(r_C\)。
   • (interconnection) 令所有新的 cluster 集合为 \(\hat {\mathcal S}_i\)，未被合并的集合为 \(\hat{\mathcal U}_i\)。对每个 \(\hat{\mathcal U}_i\) 的 cluster 中心 \(r_C\) 单独进行一次 Dijkstra，限制搜索深度为 \(\delta_i / 2\)，对所有访问到的中心 \(r_{C'}\)（\(C' \in \hat{\mathcal U}_i\)），将 \((r_C, r_{C'})\) 加入 \(H_k\)。令 \(\hat {\mathcal P}_{i + 1} \leftarrow \hat {\mathcal S_i}\)。

2. 对 \(i = \ell\)，

   • 对每个 \(\hat{\mathcal P}_{i_0}\) 的 cluster 中心 \(r_C\) 单独进行一次 Dijkstra，限制搜索深度为 \(\delta_\ell / 2\)，对所有访问到的 \(r_{C'}\)，将 \((r_C, r_{C'})\) 加入 \(H_k\)。

将 \(H = \bigcup_{k} H_k\) 作为最终的边集。

其中，每一次关键点采样的方式是相同的，我们可以将其统一，在一开始先固定每一层的关键点，令 \(V = A_0 \supseteq A_1 \supseteq \ldots \supseteq A_k = \emptyset\)，\(A_{i + 1}\) 由 \(A_i\) 的元素以 \(p_i = n^{-2^i \nu}\) 的概率加入得到，其中 \(\nu = 1 / (2^k - 1)\)。

那么每一个 \(H_i\) 的每一层 superclustering 都是限制深度的 dijkstra，我们可以对每一层只进行一次不限制深度的 dijkstra，这样所有的边都被包含了。

对于一个点 \(u \in A_j \setminus A_{j + 1}\)，令 \(p(u)\) 表示 \(A_{j + 1}\) 中离 \(u\) 最近的点，那么每一个 \(H_i\) interconnection 的效果是，如果 \(d_G(u, p(u)) \leq \delta_{i, j}\)，那么不连边，否则将 \(u\) 距离不超过 \(\delta_{i, j}\) 的所有 \(A_j\) 中的点连边，而对于同一个 \(j\)，\(\delta_{i, j}\) 是 \(\delta_{i, 0}\) 的线性函数，也即 \(\hat R\) 的线性函数，也就是说，对于相同的 \(u, j\)，每个 \(i\) 的连边是向后包含的关系，直至突然某个 \(i^*\) 连边为空。如果 \(\hat R\) 是连续取值的而非每次翻一倍，那么所有连边的并恰好就是 \(\{v \in A_i \mid d(u, v) < d_G(u, p(u))\}\)。

令 \(B(u) = \{v \in A_i \mid d(u, v) < d_G(u, A_{i + 1})\} \cup \{p(u)\}\)，则 \(H' = \{(u, v) \mid u \in V, v \in B(u)\}\) 是 \(H\) 的超集，因此是一个 \((\beta, \epsilon)\)-hopset。

而 \(\mathbb E|H'|\) 的分析与之前的做法是类似的，连边条数是一个关于邻域度数的几何分布，因此大小仍为 \(O(n^{1 + 1 / \kappa}\log \kappa)\)，通过调整 \(p_i\) 可以做到 \(O(n^{1 + 1 / \kappa})\)。

这里 \(V = A_0 \supseteq A_1 \supseteq \ldots \supseteq A_k = \emptyset\) 以及 \(B(u)\) 就是 distance-oracles 的基本元素。

如果我们就按照 \(\hat R\) 连续取值的思路来重新证明近似比，那么我们可以不用提及 superclustering-interconnection，得到一个更简洁的证明。对 \(x, y\)，令 \(\hat R = d_G(x, y)\)，考虑将原先定理中的所有 \(\hat R\) 替换。

由于现在每个点都被下一层的关键点访问到了，我们没法用显式的 spanned partition 来描述 \(x, y\) 最短路上的每一个点在哪一层，因此我们采用 OR 的说法，要么 \(d_{H'}(x, y)\) 已经正确，要么最短路上的点还没有匹配到正确的层数。

引理 1 对任意 \(0 < \delta < 1 / (8k)\)，任意 \(x, y \in V\)，\(0 \leq i \leq k - 1\)，两条至少有一条成立：

1. \(d_{G \cup H}^{(3 / \delta)^i}(x, y) \leq (1 + 8 \delta i) \cdot d(x, y)\)；

2. 存在 \(z \in A_{i + 1}\) 使得 \(d_{G \cup H}^{(3 / \delta)^i}(x, z) \leq 2 d_G(x, y)\)。

证明 使用归纳法。当 \(i = 0\) 时，如果 \(x \in A_1\)，那么令 \(z = x\) 即可；否则如果 \(y \in B(x)\)，那么 \((x, y) \in H\)；否则 \(x \in A_0 \setminus A_1, y \notin B(x)\)，则有 \(d_G(x, y) \geq d_G(x, p(x))\)，令 \(z = p(x)\) 即可。

若对 \(i\) 成立，考虑 \(i + 1\)。将 \(x, y\) 的最短路分为 \(1 / \delta\) 段，每段长度不超过 \(\delta \cdot d_G(x, y)\)（由于 \(\hat R = d_G(x, y)\)，按长度划分和按段数划分均可），如果每一段都满足 1. 则将这些路拼在一起即可，否则令 \((u_l, v_l), (u_r, v_r)\) 为最左和最右的不满足 1. 的小段，\(z_l, z_r\) 为对应的 \(A_{i + 1}\) 中的点。

令 \(z = p(z_l) \in A_{i + 2}\)，若 \(z_r \in B(z_l)\)，则 \((z_l, z_r) \in H'\)，

\[\begin{aligned} d_{G \cup H}^{\left((3 / \delta)^{i + 1}\right)}(x, y) &\leq (1 + 8 \delta i) \cdot (d_G(x, u_l) + d_G(v_r, y)) + d_{G \cup H}^{(3 / \delta)^i}(u_l, z_l) + d_H^{(1)}(z_l, z_r) + d_{G \cup H}^{(3 / \delta)^i}(u_r, z_r)\\ &\leq (1 + 8 \delta i) \cdot d_G(x, y) + 2d_{G \cup H}^{(3 / \delta)^i}(u_l, z_l) + 2d_{G \cup H}^{(3 / \delta)^i}(u_r, z_r) \\ &\leq (1 + 8 \delta i) \cdot d_G(x, y) + 8\delta d_G(x, y) \\ &= (1 + 8\delta(i + 1)) \cdot d_G(x, y) \end{aligned}\]

否则 \(d_G(z_l, z) \leq d_G(z_l, z_r)\)，

\[\begin{aligned} d_{G \cup H}^{\left((3 / \delta)^{i + 1}\right)}(x, z) &\leq (1 + 8 \delta i) \cdot d_{G \cup H}^{(1 / \delta - 1) \cdot (3 / \delta)^i}(x, u_l) + d_{G \cup H}^{(3 / \delta)^i}(u_l, z_l) + d_{G \cup H}^{(1)}(z_l, z) \\ &\leq (1 + 8 \delta i) \cdot d_{G \cup H}^{(1 / \delta - 1) \cdot (3 / \delta)^i}(x, u_l) + 2 d_{G \cup H}^{(3 / \delta)^i}(u_l, z_l) + d_G(u_l, v_r) + d_{G \cup H}^{(3 / \delta)^i}(u_r, z_r) \\ &\leq (1 + 8 \delta i) \cdot d_G(x, y) + 6 \delta \cdot d_G(x, y) \\ &\leq 2d_G(x, y)\end{aligned}\]

（对应 \(z_l, z_r\) 是两个 \(A_{i + 1}\) 的 cluster 中心，他们可能已经是 spanned partition 中的，也可能他们被 \(A_{i + 2}\) 的关键点 superclustering 了）

最后由于 \(A_k = \emptyset\)，所有的 \(x, y\) 只能是满足 1.，因此令 \(\delta = \epsilon / (8k)\) 即可得到结论。

定理 1 对任意的无向带权图 \(G\) 和 \(k\)，存在大小为 \(O(n^{1 + 1 / (2^k - 1)})\) 的对任意的 \(0 < \epsilon < 1\) 都生效的 \((\beta, \epsilon)\)-hopset \(H\)，其中 \(\beta = O(k / \epsilon)^k\)。