[论文阅读报告] $(1 + \epsilon, \beta)$-Spanner Constructions for General Graphs, SICOMP '04 & Hopsets with Constant Hopbound, and Applications to Approximate Shortest Paths, FOCS '16

本篇文章同时介绍两篇论文，分别是

任意无向无权图上的大小为 $O(\epsilon^{-\log \kappa} n^{1 + 1 / \kappa})$ 的 $(1 + \epsilon, \beta)$-spanner 做法，其中 $0 < \epsilon < 1$，$\beta = \beta(\kappa, \epsilon) = \kappa^{\max(\log \log \kappa - \log \epsilon, 3)}$ 与 $n$ 无关，$2 \leq \kappa = O(\log n)$ 为可自由调节的平衡常数。
任意无向有权图上的大小为 $O(n^{1 + 1 / \kappa} \log \Lambda)$ 的 $(\beta, \epsilon)$-hopset 做法，其中 $\Lambda$ 表示图的直径，$\beta$ 与 $n$ 无关。

一张图 $G$ 的 $(1 + \epsilon, \beta)$-spanner 是一个子图 $H$，满足对每一对 $u, v$，$\operatorname{dist}_H(u, w) \leq \alpha \cdot \operatorname{dist}_G(u, w) + \beta$。一张图 $G$ 的 $(\beta, \epsilon)$-hopset 是一个边的集合，使得其加入原图后，每一对点都存在一条路径条数不超过 $\beta$ 的 $1 + \epsilon$ 近似最短路。

他们共用了相同的 trick，称作 "superclustering-interconnection procedure"，其实质是更一般化的分层度数分治，参考文章。后文将用 spanner 和 hopset 来代替两篇论文。

这两篇论文相较于同问题下之前的论文，都强调了 $\beta$ 与 $n$ 无关的特性，以及 $\epsilon, \kappa$ 可以同时尽可能小。spanner 强调的是，对于任意接近 $1$ 的 $1 + \epsilon$，以及同时任意接近线性的 $O(n^{1 + 1 / \kappa})$，都存在与 $n$ 无关的 $\beta = \beta(\kappa, \epsilon)$，使得对所有无向无权图，都存在大小为 $O(\epsilon^{-\log \kappa} n^{1 + 1 / \kappa})$ 的 $(1 + \epsilon, \beta)$-spanner。hopset 类似，不过在此之前已经有论文达到了同时尽可能小的 $\epsilon, \kappa$，因此其最重要的改进在于于此同时令 $\beta$ 与 $n$ 无关。注意 spanner 是保留 $O(n^{1 + 1 / \kappa})$ 条原图的边，而 hopset 是添加 $O(n^{1 + 1 / \kappa})$ 条新边。

在这两个问题中，有四件事情需要分析

如何让近似比达到 $1 + \epsilon$。
如何让边数达到 $\tilde O(n^{1 + 1 / \kappa})$。
如何让 $\beta$ 与 $n$ 无关。
时间复杂度。

前三者是硬性要求。时间复杂度虽然也有方法优化到尽可能接近输入规模的 $\tilde O(n^{2 + \mu})$，但这并不影响算法思路，可以最后再考虑。

之前我们看到过，对于 $+2$ 近似，我们会选出一条最短路，对比我们找出的某一条路和这条最短路的差异，用三角形不等式来证明近似效果。同样地，$1 + \epsilon$ 近似我们并没有太多的操作空间，于是我们也是先把一条最短路作为模板，在其之上我们能够找到一条略有偏离的路，用三角形不等式来证明近似效果。考虑到我们需要对 $\frac 12 n(n - 1)$ 条最短路进行近似，但保留/加入的边只有 $O(n^{1 + 1 / \kappa})$ 条，因此必定有许多条最短路共用了许多相同的边。结合这两个因素，我们设计

为距离较长的路径加入一些共用的长边，此时，当我们近似 $d(u, v)$ 时，我们想先先让 $u, v$ 走到一条长边的两端 $u', v'$，用 $d(u, u') + d(u', v') + d(v', v)$ 做近似，其中 $d(u, u')$, $d(v', v)$ 较短，$d(u', v')$ 较长。按照三角形不等式，两者的比例 $\leq \epsilon / 4$ 时有 $1 + \epsilon$ 近似。
将 $d(u, v)$ 拆为 $d(u_0 = u, u_1) + d(u_1, u_2) + \ldots + d(u_{k-1}, u_k = v)$，如果每一段有 $1 + \epsilon$ 近似则 $(u, v)$ 也有 $1 + \epsilon$ 近似。

这两个 trick 是这个算法的出发点。

对第一个 trick 来说，为了保证短边的距离足够短，同时降低加入的短边的条数，我们选择一部分点作为跳转点，将从这些跳转点同时开始进行 bfs / Dijkstra 得到的最短路树加入边集（仅对 spanner 来说，hopset 不需要再加一次），每个点只到离它最近的跳转点，而跳转点之间多多连边。此时，我们将点集划分为了若干个 cluster（连通的点的子集），每个 cluster 有一个中心，表示跳转点，cluster 内部用一棵生成树连接，中心与中心之间两两连接。

但是，这种做法有两个问题。首先，对于所有的点对，无论 $d(u, v)$ 距离多远，$d(u, u'), d(v', v)$ 的上界总是固定的，因此近似比随着 $d(u, v)$ 变化，距离短的点对近似比更差，长的近似比更好。若 cluster 的半径是 $r$，对于 $d(u, v) < 4r / \epsilon$，这样的近似比并不能做到 $1 + \epsilon$。其次，如果我们想要在跳转点之间两两连边，跳转点的个数就不能超过 $n^{1/2 + 1 / 2 \kappa}$，那么 cluster 的平均大小就至少得是 $n^{1 / 2 - 1 / 2 \kappa}$，此时 cluster 内部的边并没有很短，而长边也并没有很长。事实上，我们并不能按照大小来划分 cluster，因为实际起作用的是直径。

也就是说，我们想要一种能够构造较为稳定的长短边比例的算法。

第一个问题是乘法近似比的问题，两篇文章的处理方式不同。因为在最终的算法里，cluster 的直径均为常数（$\leq \kappa$，之后会详细展开），因此对于距离特别短的 $(u, v)$，在 spanner 中我们可以将短边算作加法误差。hopset 原本并没有引入加法误差，但我们可以把 $d(u, v)$ 的值域分成若干段，每一段只考虑值域在这个区间内的 $(u, v)$，单独建立一个 hopset，最后将这些 hopset 的并集作为最终的集合，那么每一次考虑的距离有了下界，便可以把加法误差转化为乘法误差（注意由于我们会递归地使用分段近似，所谓的“距离太短”是相对的，因此并非把距离分段就能解决问题）。当距离分了 $k$ 段时，边集大小会乘 $k$，但这并不会影响其他参数与 $n$ 无关的性质（之后会详细展开）。

第二个问题是边集大小的问题，我们使用一般化的分层度数分治方法来解决。首先我们需要使用分段近似的方法，让跳转点的两两连边变为距离不超过 $\delta$ 的才连边，之后将分层度数分治方法一般化到每个点的一个邻域上（而不是邻居）。

较为粗糙地说，我们将很长的 $d(u, v)$ 拆为 $d(u_0 = u, u_1) + d(u_1, u_2) + \ldots + d(u_{k-1}, u_k = v)$，如果每一小段都有 $1 + \epsilon$ 近似，那最终也可以达到 $1 + \epsilon$ 近似。考虑其中每一小段时，我们可以限制，仅对于距离不超过 $\delta$ 的两个 cluster 中心之间连边，这样我们大概使用 $\lceil d(u, v) / \delta\rceil$ 次近似。

若每个点都向其距离不超过 $\delta$ 的邻域连边，那么有一些点的邻域度数很大，连边条数太多，不过覆盖到很多的点；有一些点的邻域度数很小，连边条数有保证。因此我们回顾度数分治的方法：选择一些点作为关键点，这样当一个点的度数很大时，其中高概率会有一个关键点。因此关键点向周围的点连边，度数小的点两两连边，两种连边都远小于点数平方。近似一条路径时，要么是整条路径都是度数小的点，那么这些边都存在，要么是路径上有一些度数大的点，那么可以一步走到关键点，用关键点向其他点的连边来走。

我们选择一些 cluster 的中心作为关键点，关键点向 $\delta$ 邻域内的 cluster 连边，邻域点数小的距离不超过 $\delta$ 的 cluster 之间连边。近似一条路径时，要么是整条路径都是邻域点数小的 cluster，要么是路径上有一些邻域大的 cluster，可以用不超过 $\delta$ 的代价走到关键点，用关键点的连边来走。

关键点并不需要向其他所有点连边。因为我们可以有多次误差累积，我们可以参考 surplus $(2k - 1)$ 分 $k$ 层的模式，把关键点之间的连边当作一个子问题，关键点只需要和一些关键点连边，两个关键点之间用再深一层的关键点近似其路径即可。因此我们回顾分层度数分治的方法：令 $S_0 = V \supseteq S_1 \supseteq \ldots S_{k - 1} \supseteq S_k = \emptyset$ 表示每一层的关键点集，其中 $S_i$ 通过将 $S_{i - 1}$ 中的每个元素以一定概率加入得到。之后令 $S_i$ 在 $\mathcal E_{S_{i + 1}}$ 上跑 Dijkstra，其中 $\mathcal E_{S_{i + 1}}$ 表示所有边权小于 $d(u, S_{i + 1})$ 的边 $(u, v)$。

我们令 $\hat {\mathcal P}_i$ 表示第 $i$ 轮的 cluster，则 $\hat {\mathcal P}_i$ 之间的连边应该取决于 $\hat {\mathcal P}_{i + 1}$ 和 $\delta_{i + 1}$，即，$\hat {\mathcal P}_i$ 之间的连边应该是在第 $i + 1$ 轮那些邻域点数小的距离不超过 $\delta_{i + 1}$ 的连边。

我们来简要描述这个过程。当我们已经有一些 cluster $\hat{\mathcal P}_i$ 时，我们将每个中心以 $1 / \operatorname{deg}_i$ 的概率选入关键点集。之后考虑每个非关键点的 $\delta_i$ 邻域，如果邻域中的点很多（$c \operatorname{deg}_i \ln n$），那么高概率至少有一个关键点。由此，我们依次进行如下操作

(superclustering) 从所有关键点开始进行 Dijkstra，限制其最大搜索深度为 $\delta_i$。将一个关键点 $r_C$ 和其所有访问到的 cluster 中心对应的 cluster 合并为一个更大的 cluster（spanner 原论文并不用中心距离 $\leq \delta_i$，而是两个 cluster 的距离 $\leq \delta_i$，但并不重要因为第 $i-1$ 轮 cluster 的半径是 $\delta_i$ 的小量），中心设为 $r_C$，将 $r_C$ 和这些 cluster 中心连边（对于 hopset，建立一条新的边，直接连接两者；对于 spanner，保留 Dijkstra 走出来的最短路树上对应的边）。令 $\hat {\mathcal S}_i$ 为所有这些新的 cluster，$\hat {\mathcal U}_i$ 为没有被合并的旧的 cluster。
(interconnection) 将 $\hat {\mathcal U}_i$ 中所有距离不超过 $\delta_i$ 的 cluster 中心（spanner：距离不超过 $\delta_i$ 的 cluster 的中心；hopset：距离不超过 $\delta_i$ 的 cluster 中心）连边。

我们令 $\hat {\mathcal P}_{i + 1} := \hat{\mathcal S}_i$，也即，$\hat {\mathcal U}_i$ 不再进行合并。这样的过程进行 $i_0$ 轮，之后进行最后一轮 $\ell = i_0 + 1$，跳过 superclustering 只进行 interconnection，也即 $\hat {\mathcal S}_\ell = \emptyset, \hat {\mathcal U}_\ell = \hat {\mathcal P}_\ell$（hopset 令轮数为 $\ell$，spanner 令轮数为 $J$），那么 $\{\hat {\mathcal U}_i\}$ 构成了对 $V$ 的一个划分，我们将其作为最终的 cluster。

在 interconnection 中，每个点期望连出 $\operatorname{deg}_i$ 条边，因为如果其 $\delta_i$ 邻域的点很多，它高概率会包含在 $\hat {\mathcal S}_i$ 中而非 $\hat{\mathcal U}_i$。而 superclustering 的连边构成了一棵森林。因此总的连边数为 $O\left(|\hat {\mathcal P}_i| \operatorname{deg}_i\right)$。我们发现这里 interconnection 的边数与 $\delta_i$ 无关完全是由于首先进行了 superclustering，使得每个点的邻域在期望意义下较为松散。（spanner 的作者使用了更为确定性的做法，将 superclustering 的过程改为当图中存在点 $u$ 使得其邻域的中心个数 $\geq \operatorname{deg}_i$ 时，就将它们划为一个 cluster，再在剩下的点集上考虑。此时 interconnection 一个点至多连出 $\operatorname{deg}_i - 1$ 条边）。在经典的分层度数分治中，分层是为了降低 Dijkstra 的复杂度，因为第 $i$ 轮的关键点只需要在第 $i + 1$ 轮得到的边集上进行 Dijkstra。这里分层是为了让连边数能够降到 $O(n^{1 + 1 / \kappa})$，因为第 $i$ 轮的 cluster 的邻域密度被第 $i + 1$ 轮的关键点限制住。这个优化与近似比、$\beta$ 的优化无关，但这会影响我们处理路径的模式，因此甚至会让近似比、$\beta$ 更差。需要注意的是，最后一轮由于没有 superclustering，我们只能估计边数的上界为 $|\hat {\mathcal P}_\ell|^2$。

现在我们考虑 $\operatorname{deg}_i$ 的选取。考虑我们已知 $|\hat {\mathcal P}_1| = n, \mathbb E|\hat{\mathcal P}_{i+1}| = \mathbb E|\hat{\mathcal P}_i| / \operatorname{deg}_i$，要求是 $|\hat {\mathcal P}_\ell| \leq n^{(1 + 1 / \kappa) / 2}$，边数为 $\sum_i |\hat {\mathcal P}_i| \operatorname{deg}_i = n \prod_{j < i} \frac 1{\operatorname{deg}_j} \cdot \operatorname{deg}_i$ 要尽可能小。如果要均衡每一轮的边数为 $O(nD)$，那么有 $\operatorname{deg}_i = D \cdot \prod_{j < i} \operatorname{deg}_{j}$。如果想要让边数线性，可以令 $D = 2$，得到 $\operatorname{deg}_i = 2^{2^i}$，但是递归轮数就有 $O(\log \log n)$，这样会破坏 $\beta$ 与 $n$ 无关的性质，并且会让乘法误差累积。因此令 $D = n^{1 / \kappa}$，得到 $\operatorname{deg}_i = n^{2^i / \kappa}$，轮数为 $\lfloor \log \kappa \rfloor$，边数为 $O(n^{1 + 1 / \kappa} \log \kappa)$，并非线性但可以任意趋近于线性。如果想要消去 $\log \kappa$，也可以让 $D = n^{1 / \kappa} / 2^i$，这样边数为 $O(n^{1 + 1 / \kappa})$，$\operatorname{deg}_i = n^{2^i / \kappa} / 2^{2^i - 1}$，轮数为 $\lfloor \log \kappa \rfloor + 1$。

若两个 cluster 是第 $i$ 轮的 superclustering 新得到的，那么它们之间的连边是在第 $i+1$ 轮的 interconnection 做出的，而这两者的比值需要是 $O(\epsilon)$，这决定了 $\delta_i$ 的选取。$\delta_i$ 决定了每一层 superclustering 的速度，当 $\delta_i$ 大时，新的 cluster 更大，连的边集中在一些点上；$\delta_i$ 小时，新的 cluster 更小，连的边均摊到更多点上。整体来看，总连边条数并不会受影响（对 spanner 来说，这里的一条边对应图上的一条路径，因此 $\delta_i$ 会线性地影响边数）。

具体来说，对 spanner，令 $\hat D(\mathcal C_j)$ 表示第 $j$ 轮输入的 cluster 的最大直径，$\mathcal C_j$ 表示第 $j$ 轮 superclustering 后得到的 cluster 集合，则 $\hat D(\mathcal C_1) = 0, \hat D(\mathcal C_j') \leq 3 \hat D(\mathcal C_j) + 2 \delta_j$，因为要跨过三个 cluster 内部和两条连接 cluster 的路，最终的比值为 $\hat D(\mathcal C_{j-1}) / \delta_j$，令其为 $\epsilon$，解得当 $\epsilon < 1/3$ 时有 $\delta_j = O((1 / \epsilon)^j)$；对于 hopset 来说，令 $R_i$ 表示 cluster 中心到最远点的距离（称为半径），则有 $R_{i + 1} = R_i + \delta_i$，最终的比值为 $R_{i - 1} / \delta_i$，解得 $\delta_i = O(\delta_0 (1 / \epsilon)^i)$。注意 $\delta_0 = O(n)$。

在这个算法中，只有相同层的两个 cluster 之间会连边，但对一个任意的 $(u, v)$ 来说，它们所属的 cluster 可能是不同层的，因此我们不能直接地使用长边或是直接地分段近似，只能尽可能多地寻找相同层的 cluster。

在最坏情况下，我们应该将一条路径 $(u, v) = (u_0 = u, u_1, u_2, \ldots, u_d = v)$ 视作每个点包含在一个不同的 cluster 里 $u_j \in U_{c_j}$，每个 cluster 属于一个层级 $i_j$。

当所有的 $u_i$ 都属于 $\hat {\mathcal U}^{(i)} = \bigcup_{j \leq i} \mathcal U_j$ 时，我们称这条最短路为 $\hat{\mathcal U}^{(i)}$-clustered。此时我们将路径的点划分为若干小段 $\hat L_1 \circ \hat L_2 \circ \ldots \circ \hat L_q$，满足 $\bigcup_i L_i = \{u_0, \ldots, u_d\}$，每个 $\hat L_i$ 的长度不超过 $\delta_{i+1}$，但再加上 $\hat L_i, \hat L_{i + 1}$ 中间的那一条边就不小于 $\delta_{i+1}$（也即，在不超过 $\delta_{i+1}$ 的条件下尽可能远地划分），除了最后一段 $\hat L_q$ 的长度任意。每一小段得到了一条近似最短路后，我们将它们连起来。

对于 hopset 来说，其保留了原图的所有边，因此只需要加上 $\hat L_i, \hat L_{i + 1}$ 中间的那些边即可。对于 spanner 来说，两个 cluster 挨着并不代表可以从前一个 cluster 直接走到下一个 cluster，因此我们需要一个额外的处理。称一个 cluster 向外一圈的所有点的集合为其外壳，对于最终的 cluster 集合，有可能 cluster 的个数很多或者它们的外壳都很大，因此我们并不能对每个 cluster 的外壳全部连边。但是在一开始，当 cluster 还都是单点时，如果存在一个 cluster $S$ 的外壳的单点 cluster 的个数超过 $n^{1 / \kappa} |S|$，我们就把 $S$ 向外扩一圈，作为一个新的 cluster $S'$。直到所有 cluster 的外壳点数都没有 $n^{1 / \kappa}$ 倍，此时连边，连边条数不超过 $n^{1 + 1 / \kappa}$。但由于对外壳中的每个点只能让一个 cluster 内部的点向其连边（这样才能点数等于边数），我们并不能从任意位置跨越 cluster。

现在跨越 cluster 性质描述如下 (adjacency-preservation property)：对两个通过 $e = (u_1, u_2)$ 相邻的 cluster $S_1, S_2$，要么存在 $u_1' \in S_1$ 使得 $(u_1', u_2)$ 有边，要么存在 $u_2' \in S_2$ 使得 $(u_1, u_2')$ 有边。这对应了我们先得到 $S_1$ 并把 $u_2$ 作为外壳的一个点还是先得到 $S_2$ 并把 $u_1$ 作为外壳的一个点。并且，两个 cluster 合并成一个大的 cluster 时这个性质仍然成立。此时在跨越两个 cluster 时，我们需要修改原本在 $S$ 中的路线，使其先走向 $u'$，这会导致误差增加，不过由于 cluster 的直径总是 $\delta_{i+1}$ 的小量，这只会影响参数的常数系数，不会影响最终结果。

现在我们观察其中一小段 $\hat L = (x, \ldots, y)$ 的情况。如果其是 $\hat {\mathcal U}^{(i-1)}$-clustered，可以使用归纳法直接得到结果。否则，其至少存在一个点 $z \in \hat {\mathcal U}_{i}$。如果只有一个这样的点，设 $w_1, w_2$ 为与 $z$ 相邻的靠近 $x$ 方向和靠近 $y$ 方向的点，那么 $(x, w_1), (w_2, y)$ 是 $\hat {\mathcal U}^{(i - 1)}$-clustered，$w_1 \to z \to w_2$ 可以直接花两步到达。否则，设 $z_1, z_2$ 为最左和最右的 $\hat {\mathcal U}_i$ 中的点，$w_1, w_2$ 为 $z_1$ 靠近 $x$ 方向和 $z_2$ 靠近 $y$ 方向相邻的点，则 $(x, w_1), (w_2, y)$ 是 $\hat {\mathcal U}^{(i - 1)}$-clustered，$w_1 \to z_1, z_2 \to w_2$ 可以花两步到达，$z_1, z_2$ 之间可以用长边。

按照这样对最短路分类的话，有可能 $d(u, v)$ 很短，但有一些点在很高的 $\hat {\mathcal U}_i$ 之中，不过任何一段的近似误差都可以放到加法近似里，只有 $\hat L_1 \circ \hat L_2 \circ \ldots \circ \hat L_q$ 中 $q > 1$ 我们才需要把加法转化为乘法近似。因此只有 $d(u, v)$ 和 $\delta_{i+1}$ 匹配上时才会有乘法误差。

我们此时发现乘法误差随着递归的轮数线性地增长，若第 $i$ 轮的乘法误差为 $\epsilon_i$，则第 $i + 1$ 轮的乘法误差为 $\epsilon_i + k\epsilon$。而轮数不管是多少近似总是成立的，因此轮数 $\log \kappa$ 只起到了保证最后一轮 interconnection 的连边数的作用。

最后附上完整的算法流程和关键引理。

算法 1 （无向无权图 $O(\epsilon^{-\log \kappa} n^{1 + 1 / \kappa})$ 的 $(1 + \epsilon, \beta)$-spanner）

令 $\Gamma_{\ell}^{G'}(v) = \{u \in G' \mid d_{G'}(u, v) \leq \ell\}$ 表示 $v$ 在 $G'$ 上距离阈值为 $\ell$ 的的邻域，$\Gamma^{G'}(v) = \Gamma^{G'}_1(v)$ 表示 $v$ 的邻居，$\Gamma_\ell(v) = \Gamma^G_\ell(v)$。令 $\Gamma^{G'}(U) = \{z \mid \exists u \in U \text{ s.t. } (u, z) \in E(G')\}$ 表示点集 $U$ 的邻居。

如果一个点集的子集 $C \subseteq V$ 是连通的，我们称它是一个 cluster。一个三元组 $(v, S, T)$ 被称为 spanned cluster，其中 $S$ 是一个 cluster，$v \in S$ 表示中心点，$T$ 是 $S$ 的一棵生成树。

令 $\Gamma_\ell^{\mathcal U}(S) = \{(v_i, S_i, T_i) \in \mathcal U \mid d(S_i, S) \leq \ell\}$ 表示一个 cluster $S$ 的邻域。其中 $d(U_1, U_2) = \min\{d(u_1, u_2) \mid u_1 \in U_1, u_2 \in U_2\}$。

Down part

令 $U \leftarrow V$ 表示未被处理的点，$\mathcal G \leftarrow \empty$ 表示 cluster 集合，$\mathcal S' \leftarrow \emptyset$；$E(H) \leftarrow \emptyset$。
当 $U \neq \emptyset$ 时，
- 任意选出一个点 $v \in U$，$S \leftarrow \{v\}$；
- 重复操作：当 $|S \cup \Gamma(S) \cap U| \geq n^{1 / \kappa}|S|$ 时，令 $S \leftarrow S \cup \Gamma(S) \cap U$；
- $\hat S = S \cup \Gamma(S) \cap U$，令 $T$ 为 $S$ 的任意一棵生成树，$\mathcal S' \leftarrow \mathcal S' \cup \{(v, \hat S)\}$，$\mathcal G \leftarrow \mathcal G \cup \{(v, S, T)\}$，$U \leftarrow U \setminus S$。
对所有 $(v, \hat S) \in \mathcal S'$，将从 $v$ 开始的任意一棵 BFS 树 $T'$ 的所有边加入边集 $H$。

令 $J \leq \lceil \log \kappa \rceil$ 表示轮数，$\Upsilon$ 表示一个充分大的常数，$t_j = (\kappa - 2^{j - 1}) / (2^{j - 1} \kappa)$ 表示指数，$\sigma_j = n^{t_{J - j} - t_{J - j+ 1}} = n^{2^{j - J}}$ 表示度数阈值，$\tau_j = [\kappa t_{J + 1 - j}, \kappa t_{J - j})\ (1 \leq j < \kappa), \tau_J = [\kappa t_1, \kappa)$ 表示每一轮处理的半径区间，$\delta_j = \Upsilon^{j / J}$ 表示邻域半径。

procedure Superclustering-Interconnection

输入：spanned partition $\mathcal C$，参数 $\sigma, \delta$。

输出：spanned partition $\mathcal C'$，边集 $H'$，未合并的 cluster 集合 $\mathcal R$。

令 $\mathcal U \leftarrow \mathcal C$ 表示未被处理的 cluster 集合，$\mathcal C' \leftarrow \emptyset$。
重复操作：当存在 $(v, S, T) \in \mathcal U$ 使得 $|\Gamma_\delta^{\mathcal U}(S) \cap \mathcal U| \geq \sigma$ 时，
- $S' \leftarrow \bigcup_{(v_i, S_i, T_i) \in \Gamma_\delta^{\mathcal U}(S)} S_i$；
- $T' \leftarrow T$，之后对每个 $(v_i, S_i, T_i) \in \Gamma_{\mathcal U}(S)$ 的 $S_i$，求出 $S$ 到 $S_i$ 在 $G$ 中的最短路 $P_i$，$E(T') \leftarrow E(T') \cup E(P_i) \cup E(T_i)$。
- $\mathcal C' \leftarrow \mathcal C' \cup \{(v, S', T')\}$，$\mathcal U \leftarrow \mathcal U \setminus \Gamma_\delta^{\mathcal U}(S)$，$E(H') \leftarrow E(H') \cup E(T')$；
$\mathcal R \leftarrow \mathcal U$。对每一对满足 $d_G(S_i, S_j) \leq \delta$ 的 $(v_i, S_i, T_i), (v_j, S_j, T_j) \in \mathcal R$，计算 $S_i, S_j$ 在 $G$ 中的最短路 $P_{ij}$，$E(H') \leftarrow E(H') \cup E(P_{ij})$；
返回 $(\mathcal C', \mathcal H', \mathcal R)$。

procedure Spanner-Constructions

通过 Down part 得到 $\mathcal G, H$。
$\mathcal C' \leftarrow \emptyset$。从 $j = 1$ 到 $J - 1$，
- $\mathcal C_j \leftarrow \mathcal C' \cup \bigcup_{i \in \tau_j} \mathcal A_i(\mathcal G)$；
- $(\mathcal C'_j, H'_j, \mathcal R_j) \leftarrow \textbf{Super.-Inter.}(\mathcal C, \sigma_j, 2 \delta_j)$；
- $E(H) \leftarrow E(H) \cup E(H'_j)$；
- $\mathcal C' \leftarrow \mathcal C'_j$；
$\mathcal R_J \leftarrow \mathcal C' \cup \bigcup_{i \in \tau_J} \mathcal A_i(\mathcal G)$。对每一对满足 $d_G(S_i, S_j) \leq 2\delta_J$ 的 $(v_i, S_i, T_i), (v_j, S_j, T_j) \in \mathcal R$，计算 $S_i, S_j$ 在 $G$ 中的最短路 $P_{ij}$，$E(H) \leftarrow E(H) \cup E(P_{ij})$；
令 $H$ 为最终的边集。

当 $\Upsilon, J$ 恰当选取时，$H$ 是一个 $(1 + \epsilon, \beta)$-spanner。

分析

对 Down part 的分析

令 $\operatorname{rad}(v, S, T) = \max\{d_{G(T)}(v, u) \mid u \in S\}$，$\check S(\mathcal S) = \min_{S \in \mathcal S} |S|$，$\mathcal A_i(\mathcal S) = \{(v, S, T) \in \mathcal S \mid \operatorname{rad}(v, S, T) = i\}$，$\operatorname{diam}(v, S, T) = \max\{d_{G(T)}(u, w) \mid u, w \in S\}$。

引理 2.1 对 $0 \leq j \leq \kappa - 1$，$\check S(\mathcal A_j(\mathcal G)) \geq n^{j / \kappa}$。

引理 2.2 $|E(H)| = O(n^{1 + 1 / \kappa})$。

如果 $\mathcal S$ 满足任意两个 $(v, S, T)$ 的 $S$ 不交，且 $\cup S = V$，那么称 $\mathcal S$ 是一个 spanned partition。

定义 2.3 若对于一个 spanned partition $\mathcal S$ 和边集 $H$ 有

对于任意 $(v, S, T) \in \mathcal S$，在 $H$ 中存在从 $v$ 开始，覆盖 $S$ 的 BFS 树 $T'$。
对于任意相邻的 $(v_1, S_1, T_1), (v_2, S_2, T_2) \in \mathcal S$，以及任意的 $e = (u_1, u_2)$ 满足 $u_1 \in S_1, u_2 \in S_2$，要么存在 $u_2' \in S_2$ 使得 $(u_1, u_2') \in H$ 要么存在 $u_1' \in S_1$ 使得 $(u_1', u_2) \in H$。前者称为 $e$ 由 $S_2$ 生成，后者称为由 $S_1$ 生成。

则我们称 $S$ 对边集 $H$ 满足 adjacency-preserving 性质。此时有 $d_H(u_1, u_2) \leq \operatorname{diam}(S) + 1$。

引理 2.4 $\mathcal G$ 对 $H$ 满足 adjacency-preserving 性质。

引理 2.5 若 spanned partition $\mathcal C$ 中一些 cluster 进行了合并，并把 BFS 树加入 $H$ 得到 $H'$，得到了 $\mathcal C'$，且 $\mathcal C$ 对 $H$ 满足 adjacency-preserving 性质，则 $\mathcal C'$ 也满足。

令 $\hat D(\mathcal C) = \max_{(v, S, T) \in \mathcal C} \operatorname{diam}(v, S, T)$。

对 cluster 直径的分析

引理 3.1 对于 $(\mathcal C', H', \mathcal R) \leftarrow \textbf{Super.-Inter.}(\mathcal C, \sigma, \delta)$，有 $\hat D(\mathcal C') \leq 3 \hat D(\mathcal C) + 2 \delta$。

引理 3.3 对 $1 \leq j \leq J - 1$，

\[\begin{aligned}\hat D(\mathcal C_j') &\leq 2\left(3^j \kappa t_{J - 1}+ \sum_{l=1}^j 3^{j - l} \Upsilon^{l / J}\right) \\ \hat D(\mathcal C_j) &\leq 2\left(3^{j-1} \kappa t_{J - 1}+ \sum_{l=1}^{j-1} 3^{j - 1 - l} \Upsilon^{l / J}\right)\end{aligned} \]

说明：在最后，我们让 $J = \lceil \log \kappa \rceil$，$\lfloor \kappa t_j \rfloor = 0, \kappa t_{J - 1} < 2$，这说明 $j = 1$ 时我们只选取单点 cluster 进行合并。$J$ 尽可能大似乎是显而易见的，但论文仍然先保留了这一个参数。其次，我们应让 $\Upsilon > 3$，这样 $\hat D(\mathcal C_j')$ 和最大一层的 $\delta_j$ 同阶，符合前文叙述。

证明使用归纳法。对 $j = 1$，有 $\hat D(\mathcal C) < \hat D(\mathcal A_{t_{J - 1} \kappa}(\mathcal G)) \leq 2 t_{J - 1}\kappa$。

假设命题对 $j$ 成立，考虑 $j + 1$。

\[\hat D(\mathcal C_{j + 1}) = \max\left(\hat D(\mathcal C_j'), \hat D\left(\bigcup_{i \in \tau_{j+ 1}} \mathcal A_i(\mathcal G)\right)\right) \]

若第一项较大，对比命题中两式可知成立；若第二项较大，则

\[\hat D\left(\bigcup_{i \in \tau_{j+ 1}} \mathcal A_i(\mathcal G)\right) \leq 2 \kappa t_{J - (j+ 1)} \leq \frac \kappa{2^{J - j - 3}} = 2^{j-1} \frac \kappa{2^{J - 4}} \]

选取 $\Upsilon^{1 / J} \geq \max(\kappa / 2^{J - 4}, 2)$，则有 $\Upsilon^{j / J} \geq \Upsilon^{1 / J} \Upsilon^{(j - 1) / J} \geq (\kappa / 2^{J - 4})\cdot 2^{j-1}$。因此

\[\hat D\left(\bigcup_{i \in \tau_{j+ 1}} \mathcal A_i(\mathcal G)\right) \leq \Upsilon^{j / J} \leq \sum_{l=1}^j 3^{j - l} \Upsilon^{l / j} \]

说明：做出这样的操作是因为，$\delta$ 的选取是与 $1 / \epsilon$ 相关的，并不在这一步做控制。最终我们的目的是覆盖完所有由 Down part 得到的 $\mathcal G$，实际上只需要 $\log_{1 / \epsilon} \kappa$ 步即可完成，但为了方便叙述，我们使用了 $\log_2 \kappa$ 步，这样每一步引入的 $\mathcal A$（每轮直径变为 $2$ 倍）就不会比上一轮的 $\hat D(\mathcal C_j')$（每轮直径变为 $\Upsilon^{1 / J}$ 倍）还要大，因此要求 $\Upsilon^{1 / J} \geq 2$。同时对 base case 也要成立，因此要求 $\Upsilon^{1 / J} \geq \kappa / 2^{J - 4}$。

因此 $\mathcal C_j' \to \mathcal C_{j+ 1}$ 的归纳过程成立。$\mathcal C_{j + 1} \to \mathcal C_{j + 1}'$ 直接使用引理 3.1 即可得到。

推论 3.4 对 $1 \leq j \leq J$，有

\[\hat D(\mathcal R_j) \leq 2\left(3^{j - 1} \kappa t_{J - 1}+ \sum_{l = 1}^{j - 1} 3^{j - 1 - l} \Upsilon^{l / J}\right) \]

对边集大小的分析

仍然考虑 $(\mathcal C', H', \mathcal R) \leftarrow \textbf{Super.-Inter.}(\mathcal C, \sigma, \delta)$。

引理 3.5 $\check S(\mathcal C') \geq \sigma \check S(\mathcal C)$。

引理 3.6 $|E(H')| = O(n \sigma \delta / \check S(\mathcal C))$。

证明根据定义有 $|\mathcal C| \leq n / \check S(\mathcal C)$。所有 superclustering 连接的最短路在以 cluster 为点，cluster 之间最短路为边形成的图中构成了一个森林，因此至多只有 $|\mathcal C|$ 条边。每条最短路长度不超过 $\delta$。因此 superclustering 至多连了 $n \delta / \hat S(\mathcal C)$ 条边。interconnection 时每个 cluster 至多向外连出 $\sigma$ 条最短路，因此至多连了 $n \sigma \delta / \hat S(\mathcal C)$ 条边。

说明：我们发现 superclustering 使用了很少的边，相比之下 interconnection 使用了 $\sigma$ 倍的边，但我们并不需要平衡二者。因为 superclustering 的边对应着短边，interconnection 的边对应着长边，长边本就比短边更难构建。

引理 3.7 对 $1 \leq j \leq J - 1$，$\check S(\mathcal C_j) \geq n^{t_{J - j + 1}}$。

证明 $\sigma_j$ 是 $n^{t_{J - j + 1}}$ 的差分。$\hat S(\mathcal C_j') \geq \hat S(\mathcal C_j) \sigma_j \geq n^{t_{J + 1 - j}} \cdot n^{t_{J - j} - t_{J + 1 - j}}$。

引理 3.8 procedure Spanner-Constructions 的第 2 步完成后，$|E(H)| = O(\Upsilon n^{1 + 1 / \kappa})$。

证明 $|\mathcal C_j| \leq n / \check S(\mathcal C_j) \leq n^{1 - t_{J - j + 1}}$，

\[|E(H_j)| \leq \delta_j n^{1 - t_{J - j+ 1}} \sigma_j = n^{1 - t_{J - j + 1}} n^{t_{J - j} - t_{J - j + 1}} \delta_j = n^{1 + t_{J - j} - 2t_{J - j + 1}} \delta_j \]

其中，

\[1 + t_{J - j} - 2 t_{J - j + 1} = 1 + \frac{\kappa - (2^{J - j - 1} - 1)}{2^{J - j - 1}\kappa} - 2 \cdot \frac{\kappa - (2^{J - j} - 1)}{2^{J - j} \kappa} = \frac{\kappa + 1} \kappa \]

实际上，$t$ 的选取就是靠 $1 + t_{J - j} - 2 t_{J - j + 1} = 1 + 1 / \kappa$ 解方程得到的。

\[|E(H)| \leq n^{1 + 1 / \kappa} \sum_{j=1}^J \delta_j \leq n^{1 + 1 / \kappa} \sum_{j=1}^J (\Upsilon^{1 / J})^j = O(\Upsilon n^{1 + 1 / \kappa}) \]

引理 3.9 procedure Spanner-Constructions 的第 3 步添加的边数是 $O(\Upsilon n^{2 / \kappa})$。

说明：我们只需要让 $|\mathcal R_J| = O(n^{(1 + 1 / \kappa) / 2})$ 即可，与现在的流程相比至多少一轮，不会影响最终结果。

推论 3.10 算法结束后，$|E(H)| = O(\Upsilon n^{1 + 1 / \kappa})$。

对近似比的分析

引理 3.11 $\bigcup_i \mathcal R_i$ 构成了一个 spanned partition，其对 $H$ 满足 adjacency-preserving 性质。

引理 3.12 令 $(u, w)$ 的一条最短路为 $P_{u, w} = (u = u_0, u_1, \ldots, u_x = w)$，令 $(v_i, S_i, T_i)$ 为满足 $u_i \in S_i$ 的 cluster。则对于任意 $u_0' \in S_0, u_x' \in S_x$，有

\[d_H(u_0', u_x') \leq \sum_{i=0}^x (\operatorname{diam}(v_i, S_i, T_i) + 1) - 1 \]

证明使用归纳法。考虑长度为 $x + 1$ 的路径中 $u_x$ 跨越到 $u_{x+1}$ 的过程，若存在 $u_x'$ 使得 $(u_x', u_{x + 1}) \in H$，则先将结论应用到 $P_{u, u_x'}$，再从 $u_x'$ 走到 $u_{x + 1}$，这样只需要多一条边；若存在 $u_{x+ 1}'$ 使得 $(u_x, u_{x + 1}') \in H$，则先走到 $u_{x + 1}'$ 再走回 $u_{x + 1}$，代价是 $\operatorname{diam}(v_{x + 1}, S_{x+ 1}, T_{x + 1})$。

设 $\mathcal Z = \bigcup_{i < t_J\kappa} \mathcal A_i(\mathcal G)$ 表示 $\mathcal G$ 中没有被主程序处理的太小的 cluster（实际上不存在）。若路径 $P$ 的所有点都在 $\mathcal Z \cup \bigcup_{i=1}^j \mathcal R_i$ 中，我们称路径 $P$ 是一条 class-$j$ 路径。设 $\gamma_j = \sum_{i=1}^j 2^i \hat D(\mathcal R_{j - i + 1})$。

引理 3.13 对 $1 \leq j \leq J$，任意存在 class-$j$ 最短路的两点 $u_j', u_j''$，有

\[d_H(u_j', u_j'') \leq d_G(u_j', u_j'')\left(2 \lfloor t_J \kappa \rfloor + 1 + \sum_{i=1}^j \frac {\gamma_i}{\Upsilon^{i / J}}\right) + \gamma_j \]

同时，对任意和 $u_j', u_j''$ 在同一个 cluster 里的 $v_j', v_j''$，

\[d_H(v_j', v_j'') \leq d_G(u_j', u_j'')\left(2 \lfloor t_J \kappa \rfloor + 1 + \sum_{i=1}^j \frac {\gamma_i}{\Upsilon^{i / J}}\right) + \gamma_j \]

证明使用归纳法。

对 $j=1$ 且 $d_G(u_1', u_1'') \leq 2 \Upsilon^{1 / J}$，

若路径上不存在 $\mathcal R_1$ 中的点，那么它们均为 $\mathcal Z$ 中的点，因此有

\[d_H(v_1', v_1'') \leq (d_G(u_1', u_1'') + 1)(\hat D(\mathcal Z) + 1) - 1 \leq d_G(u_1', u_1'')(2\lfloor t_J \kappa \rfloor + 1) + 2\lfloor t_J \kappa \rfloor \]
若只有一个 $\mathcal R_1$ 中的点，我们有

\[d_H(v_1', v_1'') \leq d_G(u_1', u_1'')(\hat D(\mathcal Z) + 1) + \hat D(\mathcal R_1) + 1 - 1 \leq d_G(u_1', u_1'')(2\lfloor t_J \kappa \rfloor + 1) + \hat D(\mathcal R_1) \]
若至少有两个 $\mathcal R_1$ 中的点，设 $w_1' \in S_1', w_1'' \in S_1''$ 为最靠近 $u_1'$ 和最靠近 $u_1''$ 的 $\mathcal R_1$ 中的点，则存在 $z_1' \in S_1', z_1'' \in S_1''$ 使得 $d_H(z_1', z_1'') = d_G(w_1', w_1'') = l$，而 $d_H(u_1', w_1'), d_H(w_2', u_2'')$ 可以用第二种情况的结论。因此有

\[d_H(v_1', v_1'') \leq (d_G(u_1', u_1'') - l)(2 \lfloor t_J \kappa \rfloor + 1) + 2 \hat D(\mathcal R_1) + l \leq d_G(u_1', u_1'')(2 \lfloor t_J \kappa \rfloor + 1) + 2 \hat D(\mathcal R_1) \]
说明：寻找 $d_H(z_1', z_1'') = d_G(w_1', w_1'')$ 的 $z_1', z_1''$ 似乎并没有直观意义上的道理，只是为了式子的方便起见。

对 $j = 1$ 且 $d_G(u_1', u_1'')$ 无限制，将路径划分为 $\Upsilon^{1 / J}$ 的小段，除了最后一段的长度 $\Upsilon' \in (\Upsilon^{1 / J}, 2 \Upsilon^{1 / J})$，令 $a = \lfloor d_G(u_1', u_1'') / \Upsilon^{1 / J} \rfloor$，则有

\[\begin{aligned} d_H(v_1', v_1'') &\leq (a - 1)(\Upsilon^{1 / J}(2\lfloor t_J \kappa \rfloor + 1) + 2 \hat D(\mathcal R_1)) + \Upsilon'(2\lfloor t_J \kappa \rfloor + 1) + 2 \hat D(\mathcal R_1) \\ &= d_G(u_1', u_1'')(2\lfloor t_J \kappa \rfloor + 1) + 2a \cdot \hat D(\mathcal R_1) \\ &\leq d_G(u_1', u_1'')(2\lfloor t_J \kappa \rfloor + 1) + 2d_G(u_1', u_1'') \cdot \hat D(\mathcal R_1) / \Upsilon^{1 / J} \\ &= d_G(u_1, u_1'')\left(2 \lfloor t_J \kappa \rfloor + 1 + \frac{\gamma_1}{\Upsilon^{1 / J}}\right) \end{aligned}\]

当 $j$ 成立时考虑 $j + 1$，对 $d_G(u', u'') \leq \Upsilon^{(j + 1) / J}$，

若路径上不存在 $\mathcal R_{j+1}$ 的点，可以直接使用归纳假设。
若只有一个 $\mathcal R_{j + 1}$ 的点 $w \in S$，设 $w' \in S', w'' \in S''$ 为 $w$ 靠近 $u'$ 和 $u''$ 的邻居。考虑 $w' \to w \to w$ 的过程，
- 若存在 $z, y \in S$，使得 $(w', z), (y, w'') \in H$，那么 $d_H(w', w'') \leq 2 + \hat D(\mathcal R_{j + 1})$。
- 若存在 $z' \in S', z'' \in S''$ 使得 $(z', w), (w, z'') \in H$，那么对 $d_H(u', z'), d_H(z'', u'')$ 使用第 $j$ 层的结果。
- 若存在 $z' \in S, z \in S$ 使得 $(z', w), (z, w'') \in H$，那么对 $d_H(u', z'), d_H(w'', u'')$ 使用第 $j$ 层的结果。
综上，

\[d_H(v', v'') \leq (d_H(u', u'') - 2)\left(2\lfloor t_J \kappa \rfloor + 1 + \sum_{i=1}^j \frac{\gamma_i}{\Upsilon^{i / J}}\right) + 2 \gamma_j + \hat D(\mathcal R_{j + 1}) \]
若至少有两个 $\mathcal R_{j + 1}$ 的点，设 $w' \in S', w'' \in S''$ 为最靠近 $u_1'$ 和最靠近 $u_1''$ 的 $\mathcal R_{j + 1}$ 中的点，使用同 $j=1$ 相同的模式，以及继续分情况讨论两边跨越 cluster 的情况，可以得到

\[\begin{aligned} d_H(v', v'') &\leq (d_G(u', u'') - d_G(x', x'')) \left(2 \lfloor t_J \kappa \rfloor + 1 + \sum_{i=1}^j \frac {\gamma_i}{\Upsilon^{i / J}}\right) + 2 \gamma_j + 2 \hat D(\mathcal R_{j + 1}) + d_G(x', x'') \\ &\leq d_H(u', u'')\left(2\lfloor t_J \kappa \rfloor + 1 + \sum_{i=1}^j \frac{\gamma_i}{\Upsilon^{i / J}}\right) + \gamma_{j+1}\end{aligned} \]
其中 $x', x''$ 表示经过分类讨论后的和 $w', w''$ 同属一个 cluster 的两个点。

对 $j + 1$，$d_G(u', u'')$ 无限制，分成 $\Upsilon^{(j + 1) / J}$ 的小段，可得

\[\begin{aligned}d_H(v', v'') &\leq d_G(u', u'')\left(2\lfloor t_J \kappa \rfloor + 1 + \sum_{i=1}^{j} \frac{\gamma_i}{\Upsilon^{i / J}}\right) + \gamma_{j + 1} \cdot d_G(u, u'') / \Upsilon^{(j + 1) / J} \\ &= d_G(u', u'')\left(2\lfloor t_J \kappa \rfloor + 1 + \sum_{i=1}^{j+1} \frac{\gamma_i}{\Upsilon^{i / J}}\right)\end{aligned} \]

综合两种情况，可得

\[d_H(v', v'') \leq d_G(u', u'')\left(2\lfloor t_J \kappa \rfloor + 1 + \sum_{i=1}^{j+1} \frac{\gamma_i}{\Upsilon^{i / J}}\right) + \gamma_{j + 1} \]

推论 3.14 对任意 $u', u''$，$d_H(u', u'') \leq \alpha d_G(u', u'') + \beta$，其中

\[\alpha = 2 \lfloor t_J \kappa \rfloor + 1 + \sum_{i=1}^J \gamma_i / \Upsilon^{i / J},\ \beta = \gamma_J \]

引理 3.15 当 $\Upsilon^{1 / J} \geq 6, \gamma_j = O(t_{J - 1} \kappa 3^j + \Upsilon^{(j - 1) / J})$。

证明 $\gamma_j = \sum_{i=1}^j 2^i \hat D(\mathcal R_{j - i + 1})$，其中 $\delta_*$ 在 $\hat D(\mathcal R_{*})$ 中以每层 $3$ 倍增长，因此

\[\begin{aligned}\gamma_j / 4 &\leq 2^{j - 1} t_{J - 1}\kappa + 2^{j - 2}\left(3 t_{J - 1}\kappa + \Upsilon^{1 / J}\right) + \ldots + 2^0\left(3^{j - 1} \kappa t_{J - 1} + \sum_{i=1}^{j - 1} 3^{j - 1 - i}\Upsilon^{i / J}\right) \\ &= t_{J - 1} \kappa \sum_{i=0}^{j - 1} 3^i 2^{j - 1 - i} + \sum_{l=1}^{j - 1}\left(\Upsilon^{l / J} \sum_{i=0}^{j - l - 1} 3^i 2^{j - l - 1 - i}\right) \end{aligned}\]

可知 $\sum_{i=0}^p 3^i 2^{p - i}$ 是一个等比数列求和，其不超过 $3^p \frac 1{1 - 2 / 3} = 3^{p + 1}$。因此括号里不超过 $\Upsilon^{l / J} 3^{j - l}$，而这又是一个等比数列，由于 $\Upsilon^{1 / J}$ 更大，$\Upsilon^{(j - 1) / J}$ 会主导。这便是我们让 $\Upsilon$ 充分大的原因。

\[\begin{aligned}\gamma_j / 4 &\leq t_{J - 1} \kappa \sum_{i=0}^{j - 1} 3^i 2^{j - 1 - i} + \sum_{l=1}^{j - 1}\left(\Upsilon^{l / J} \sum_{i=0}^{j - l - 1} 3^i 2^{j - l - 1 - i}\right) \\ &\leq t_{J - 1}\kappa 3^j + \sum_{i=1}^{j - 1} \Upsilon^{i / J} 3^{j - i} \\ &\leq t_{J - 1} \kappa 3^j + \Upsilon^{(j - 1) / J} \cdot 3 \sum_{i=0}^{j - 2}\left(\frac 3{\Upsilon^{1 / J}}\right)^i \\ &< t_{J - 1} \kappa 3^j + 6 \Upsilon^{(j - 1) / J} \end{aligned}\]

引理 3.16 对任意 $\Upsilon^{1 / J} \geq 6$，$\alpha = 1 + 2 \lfloor t_J \kappa \rfloor + O\left(\frac{J + t_{J - 1} \kappa}{\Upsilon^{1 / J}}\right), \beta = O(t_{J - 1} \kappa 3^J + \Upsilon^{(J - 1) / J})$。

证明

\[\begin{aligned} \alpha &\leq 1 + 2 \lfloor t_J \kappa \rfloor + \sum_{j = 1}^J \frac{\gamma_j}{\Upsilon^{j / J}} \\ &\leq 1 + 2 \lfloor t_J \kappa \rfloor + O\left(t_{J - 1} \kappa \sum_{j=1}^J \frac{3^j}{\Upsilon^{j / J}}\right) + O\left(\frac J{\Upsilon^{1 / J}}\right) \\ &\leq 1 + 2 \lfloor t_J \kappa \rfloor + O\left(\frac{J + t_{J - 1} \kappa}{\Upsilon^{1 / J}}\right) \end{aligned}\]

定理 3.17 对 $0 < \epsilon < 1$，$2 \leq \kappa = O(\log n)$，存在固定的 $\beta = \kappa^{\max(\log \log \kappa - \log \epsilon, 4)}$，使得算法在 $J = \lceil \log \kappa \rceil$ 下输出大小为 $O(\kappa^{-\log \epsilon} n^{1 + 1 / \kappa})$ 的 $(1 + \epsilon, \beta)$-spanner。

证明 $J = \lceil \log \kappa \rceil$ 时，$\lfloor t_J \kappa \rfloor = 0$，$\alpha = 1 + O\left(\frac{\log \kappa} {\Upsilon^{1 / \log \kappa}}\right), \beta = O\left(\Upsilon^{(\log \kappa - 1) / \log \kappa} + \kappa ^{\log 3}\right)$。

我们在前文要求 $\Upsilon^{1 / J} \geq \max\left(6, \kappa / 2^{J - 4}\right) = 16$，这里要求 $\Upsilon^{1 / \log \kappa} = \epsilon^{-1} \log \kappa$，解得 $\Upsilon = \kappa^{\max(\log \log \kappa - \log \epsilon, 4)}$。

算法 2 （无向带权图 $O(n^{1 + 1 / \kappa} \log \Lambda)$ 的 $(\beta, \epsilon)$-hopset）

令 $d_G^{(t)}(u, v)$ 表示使用至多 $t$ 条边时 $u, v$ 在 $G$ 中的最短路。

我们对距离在 $(2^k, 2^{k + 1}]$ 中的路径构建一个 hopset $H_k$。$1 \leq k \leq \log \Lambda$。令 $\hat R = 2^{k + 1}$。对 $\hat R \leq \beta$，$H_k = \emptyset$ 即可，因此我们考虑 $k > \log \beta - 1$。

Single-scale Hopset Construction

令 $\hat {\mathcal P}_i$ 表示第 $i$ 轮的 cluster，$\hat {\mathcal P}_0 = \{\{v\} \mid v \in V\}$。每个 cluster 有一个中心，最开始 $\{v\}$ 的中心是 $v$。

令 $i_0 = \lfloor \log \kappa \rfloor$，$\ell = i_0 + 1$ 表示轮数上界。

令 $\alpha = \epsilon^\ell \hat R$。对 $0 \leq i \leq i_0$，令 $\delta_i = \alpha(1 / \epsilon)^i + 4R_i, R_{i + 1} = \delta_i + R_i = \alpha(1 / \epsilon)^i + 5R_i$。$\operatorname{deg}_i = n^{2^i / \kappa}$。

对 $0 \leq i \leq i_0$，
- 以 $1 / \operatorname{deg}_i$ 的概率从 $\hat {\mathcal P}_i$ 中独立采样。设选出的 cluster 集合为 $\mathcal S_i$。
- 从 $\mathcal S_i$ 的所有中心 $\{r_C \mid C \in \mathcal S_i\}$ 同时开始 Dijkstra，限制搜索深度为 $\delta_i$ 条边。对所有被 $r_C$ 访问到的中心 $r_{C'}$（$C' \in \hat {\mathcal P}_i \setminus \mathcal S_i$），将 $(r_C, r_{C'})$ 加入 $H_k$。将 $C$ 和所有被其访问到的 $C'$ 合并为一个新的 cluster $\hat C$，中心为 $r_C$。
- 令所有新的 cluster 集合为 $\hat {\mathcal S}_i$，未被合并的集合为 $\hat{\mathcal U}_i$。对每个 $\hat{\mathcal U}_i$ 的 cluster 中心 $r_C$ 单独进行一次 Dijkstra，限制搜索深度为 $\delta_i / 2$，对所有访问到的中心 $r_{C'}$（$C' \in \hat{\mathcal U}_i$），将 $(r_C, r_{C'})$ 加入 $H_k$。令 $\hat {\mathcal P}_{i + 1} \leftarrow \hat {\mathcal S_i}$。
对 $i = \ell$，
- 对每个 $\hat{\mathcal P}_{i_0}$ 的 cluster 中心 $r_C$ 单独进行一次 Dijkstra，限制搜索深度为 $\delta_\ell / 2$，对所有访问到的 $r_{C'}$，将 $(r_C, r_{C'})$ 加入 $H_k$。

将 $H = \bigcup_{k} H_k$ 作为最终的边集。

则 $H$ 是一个大小为 $\tilde O(n^{1 + 1 / \kappa})$ 的 $(\beta, \epsilon)$-hopset。

分析

声明 3.1 对任意 $C \in \hat{\mathcal P}_i$，$u \in C$，$H_k$ 中存在一条边数为 $i$ 长度不超过 $R_i$ 的路径 $(r_C, u)$。

证明使用归纳法。若在第 $i$ 层 $r_C$ 和 $u$ 来自不同的 cluster，那么 $r_C$ 可以一步走到 $u$ 所在的中心 $r_{C'}$，长度为 $\delta_i$，而 $\delta_i + R_i = R_{i + 1}$，因此最终距离不超过 $R_i$。

引理 3.2 每个点 $v \in V$ 在第 $0 \leq i \leq i_0$ 轮的 interconnection 时期望被连边的次数不超过 $\operatorname{deg}_i$。

证明如果 $v$ 周围 $\delta_i / 2$ 的邻域存在一个 $\mathcal S_i$ 中的中心点，那么 $v$ 将会被合并，不会被任何 cluster 连边。否则，设 $v$ 周围 $\delta_i / 2$ 的邻域有 $l$ 个中心点，它们都不属于 $\mathcal S_i$ 的概率为 $(1 - 1 / \operatorname{deg}_i)^l$，因此期望连边数为 $l \cdot (1 - 1 / \operatorname{deg}_i)^l \leq \operatorname{deg}_i$。

推论 3.3 对任意常数 $c > 1$，有 $\geq 1 - 1 / n^{c - 1}$ 的概率满足对所有 $v \in V$，在其 $\operatorname{deg}_i \cdot c \cdot \ln n$ 个最近的中心点中，至少有一个点属于 $\mathcal S_i$。

引理 3.4 对 $0 \leq i \leq i_0 + 1$，$|\hat {\mathcal P}_i| \leq 2 n^{1 - \frac{2^i - 1}\kappa}$。

因此 $|E(H_k)| = O\left(\sum_i |\hat {\mathcal P}_i| \deg_i\right) = O(n^{1 + 1 / \kappa})$。

令 $\hat {\mathcal U}^{(i)} = \bigcup_{j=0}^i \hat {\mathcal U}_j$，若一条最短路上的所有点都在 $\hat{\mathcal U}$ 中，我们称其是 $\hat{\mathcal U}$-clustered 的。

引理 3.5 若 $d_G(x, y) \leq \frac 12 \alpha (1 / \epsilon)^i$ 且最短路是 $\hat{\mathcal U}^{(i)}$-clustered，那么有

\[d^{(h_i)}_{G \cup H}(x, y) \leq d_G(x, y)(1 + 16 c(i - 1) \epsilon) + 8 \alpha c(1 / \epsilon)^{i - 1} \]

其中 $h_0 = 1, h_{i + 1} = (h_i + 1)(1 / \epsilon + 2) + 2i + 5$。

证明使用归纳法。对 $i=0$，考虑 $d_G(x, y) \leq \alpha / 2$，最短路 $\hat{\mathcal U}^{(0)}$-clustered，则有 $d_{G \cup H}^{(h_0)}(x, y) = d_G(x, y) \leq d_G(x, y)(1 - 16 c \epsilon) + 8 \alpha c (1 / \epsilon)^{-1}$。

若其对 $i$ 成立，考虑 $i + 1$。

首先先对 $\hat {\mathcal U}^{(i)}$-clustered 消除距离限制，把其分为 $\frac 12 \alpha (1 / \epsilon)^i$ 的小段 $\hat L_1 \circ \hat L_2 \circ \ldots \circ \hat L_q$，每个 $\hat L_i$ 的长度不超过 $\frac 12 \alpha (1 / \epsilon)^i$，但再加上 $\hat L_i, \hat L_{i + 1}$ 中间的那一条边就不小于 $\frac 12 \alpha (1 / \epsilon)^i$。

\[\begin{aligned} d_{G \cup H}^{(h_i + 1) \cdot \left\lceil \frac{d_G(u, v)}{\frac 12 \alpha (1 / \epsilon)^i}\right\rceil}(u, v) &\leq d_G(u, v)(1 + 16c\cdot (i - 1) \epsilon) + \left \lceil \frac{d_G(u, v)}{\frac 12 \alpha (1 / \epsilon)^i}\right\rceil \cdot 8 \alpha c (1 / \epsilon)^{i - 1} \\ &\leq d_G(u, v) (1 + 16 c \cdot i \epsilon) + 8\alpha c(1 / \epsilon)^{i - 1} \end{aligned}\]

然后考虑 $d_G(x, y) \leq \frac 12 \alpha(1 / \epsilon)^{i + 1}$，且最短路 $\hat {\mathcal U}^{(i + 1)}$-clustered，让 $z_1, z_2$ 为最左和最右的 $\hat {\mathcal U}_{i + 1}$ 的点，$w_1, w_2$ 为 $z_1, z_2$ 分别靠近 $x, y$ 的邻居。令 $b_1 = (h_i + 1) \left \lceil \frac{d_G(x, w_1)}{\frac 12 \alpha (1 / \epsilon)^i} \right \rceil, b_2 = (h_i + 1) \left \lceil \frac{d_G(w_2, y)}{\frac 12 \alpha (1 / \epsilon)^i} \right \rceil$，$r_1, r_2$ 为 $z_1, z_2$ 所在 cluster 的中心，则有

\[\begin{aligned}d^{(h_{i + 1})}_{G \cup H}(x, y) &\leq d_{G \cup H}^{(b_1)}(x, w_1) + d_G^{(1)} (w_1, z_1) + d_G^{(i + 1)}(z_1, r_1) \\ &\hphantom{{}\leq{}}+ d_H^{(1)}(r_1, r_2) + d_G^{(i + 1)}(r_2, z_2) + d_G^{(1)}(z_2, w_2) + d_{G \cup H}^{(b_2)}(w_2, y) \\ &\leq (1 + 16 c \cdot i\epsilon) d_G(x, w_1) + d_G(w_1, z_1) + R_{i + 1} + (d_G(z_1, z_2) + 2R_{i + 1}) \\ &\hphantom{{}\leq{}} + R_{i + 1} + d_G(z_2, w_2) + (1 + 16 c \cdot i\epsilon) d_G(w_2, y) + 2 \cdot (8 \alpha c (1 / \epsilon)^{i-1})\\ &\leq (1 + 16 c \cdot i\epsilon) d_G(x, y) + 4 R_{i + 1} + 16 \alpha c(1 / \epsilon)^{i - 1} \\ &\leq (1 + 16 c \cdot i\epsilon) d_G(x, y) + 8 \alpha c(1 / \epsilon)^i \end{aligned}\]

使用的边数有

\[\begin{aligned}&\hphantom{{}={}} (h_i + 1)\left(\left \lceil \frac{d_G(x, w_1)}{\frac 12 \alpha (1 / \epsilon)^i} \right \rceil + \left \lceil \frac{d_G(w_2, y)}{\frac 12 \alpha (1 / \epsilon)^i} \right \rceil\right) + 2i + 5 \\ &\leq (h_i + 1) \left(\frac{d_G(x, y)}{\frac 12 \alpha (1 / \epsilon)^i} + 2\right) + 2i + 5 \\ &\leq (h_i + 1)(1 / \epsilon + 2) + 2i + 5 \\ &= h_{i + 1}\end{aligned} \]

引理对 $\epsilon < 1 / 10$，有 $h_i \leq 3(1 / \epsilon + 2)^i$，令 $\zeta = 16 c(\ell + 1) \epsilon, \beta = 2h_\ell + 1 \leq 6 (1 / \epsilon + 2)^\ell + 1$。

引理 3.6 对 $d_G(x, y) \in (\hat {\mathcal R} / 2, \hat{\mathcal R}]$ 有 $d^{(\beta)}_{G \cup H}(x, y) \leq (1 + \zeta)d_G(x, y)$。

引理 3.7 对 $2 \leq \kappa \leq (\log n) / 4$，算法给出期望大小为 $O(n^{1 + 1 / \kappa} \log \Lambda)$ 的 $(\beta, \epsilon)$-hopset，其中 $\beta = O\left(\frac{\log \kappa}\epsilon\right)^{\log \kappa}$。

posted @ 2025-04-18 20:34 shiys22 阅读(195) 评论(0) 收藏举报

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