ABC 465 F (高维前缀和+ 容斥原理)

F - Sjeltzer?

前置知识：高维前缀和，容斥原理

将每一位数字看作是一个维度，那么当只考虑 \(y\) 限制时，原问题可以看作是六维前缀和问题。

设 \(dp_{y}\)：考虑原 \(ID\) 集合里的所有串，满足 \(\forall i \in [1,6], s_{i} \le y_{i}\) 的所有 \(ID\) 的价值总和。

初始化 \(dp_{x} = \sum_{ID_{i} = x}v_{i}\)，对十进制中的 \(6\) 个数位分别作前缀和，即可得到正确的 \(dp\)。

（高维前缀和大多用来描述二进制子集包含形式，也就是在二进制情形下的高维前缀和；本题是在十进制情形下的高维前缀和）

然后考虑原问题：共有 \(x,y\) 两种限制，其中 \(y\) 的限制与上述相同；\(x\) 的限制：\(\forall i \in [1,6], s_{i} \ge x_{i}\)。

显然只需在满足 \(y\) 限制的所有情况中，去除不满足 \(x\) 限制的所有情况。而某个 \(ID\) 不满足 \(x\) 限制，当且仅当 \(\exists i \in [1, 6], s_{i} \le x_{i} - 1\)。这里相当于对共 \(6\) 个数位求有关不满足限制的并集，可以容斥原理求解：考虑 \(6\) 个数位的某个子集，要求子集内的数位必须强制满足 \(x\) 限制（\(d_{i} = x_{i} - 1\)），不在子集内的数位任意（但要注意仍需满足 \(y\) 限制，即 \(d_{i} = y_{i}\)）。求得状态 \(d\) 后，根据子集大小对总贡献奇减偶加 \(dp_{d}\)。考虑所有 \(2^{6}\) 个子集的情况即可得到最终的答案。

需要注意一些特判，这里不作赘述。

复杂度 \(O(D * B^{D} + q * 2^{D} * D)\)，其中 \(B = 10\) 表示进制，\(D = 6\) 表示数位个数。

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