高维前缀和 (SOSdp）

可以求解关于子集的前缀和，原理本质上是逐位前缀和。

int s[N];
for(int c = 0; c < m; c ++){
    for(int state = 0; state < (1 << m); state ++){
        if(state >> c & 1){
            s[state] += s[state ^ (1<<c)];
        }
    }
}

（\(m\) 为二进制位数，\(state\) 为二进制状态，\(s[state]\) 需要初始化为集合 \(state\) 本身的函数值，进行上述算法后 \(s[state]\) 表示的是 \(state\) 的所有子集的函数值之和。）

对 \(dp\) 数组的 \(state\) 这一维做前缀和：

\[s[state] = \sum_{state'\subseteq state} dp[state'] \]

可以用 \(O(m * 2^{m})\) 的复杂度获得整个 \(s\) 数组。

辅助理解：可以将 \(n\) 位数字的每一位看作是一个维度，每个维度只有两种取值 \((0 和 1)\)，其中 \(s[0] = a[0], s[1] = a[0] + a[1]\)，上面的代码就是在做这样的前缀和过程。

反过来，如果要求：

\[s[state] = \sum_{state\subseteq state'} dp[state'] \]

int s[N];
for(int c = 0; c < m; c ++){
    for(int state = 0; state < (1 << m); state ++){
        if(!(state >> c & 1)){
            s[state] += s[state ^ (1<<c)];
        }
    }
}

只需要将 \(if\) 判断中加上！。

原理见oi-wiki上的“逐维前缀和”部分：oi-wiki