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最小生成树 Prim Kruskal


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title: 最小生成树 Prim Kruskal
date: 2017-04-29
tag: 数据结构和算法

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最小生成树Minimum Spanning Tree

  • 一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图,且包含原图中的所有 n 个结点,并且有保持图连通的最少的边。

  • 树: 无回路,|V|个顶点,一定有|V|-1条边

  • 生成树: 包含全部顶点,|V|-1 条边都在图里;边权重和最小

  • 最小生成树存在<--->图联通;向生成树中任加一条边都一定构成回路

贪心算法

  “贪”:每一步都要最好的

  “好”:权重最小的边

  需要约束:

    ①只能用图里有的边

    ②只能正好用掉|V|-1条边

    ③不能有回路

Prim算法— 让一棵小树长大

思路

-该算法利用了贪心的思想,大体上与dijkstra算法类似,都需要对每一个顶点保存一个距离值dv和pv,以及一个visit指标,标记是否已经过改点。pv则表示导致dv改变的最后的顶点。算法有一点不同就是 **dv的定义不同: **dijkstra算法里dv的定义是源点到各个点之间的最短距离,而prim算法里的dv则是该树的所有点到其所有邻接点之间的最短距离。更新法则:在每一个顶点v被选取以后,检查它的每一个邻接点是否受影响,每一个邻接点w,dw=min(dw, Cw,v)
代码描述如下:

步骤

步骤	 
1	任意选取v1为顶点开始,并将v1收录进MST
2	v1有三条边,选取最短边(v1,v4)为1,并将v4收录进MST
3	MST={v1,v4}的边中在选取最小的(v1,v2)为2,将v2收录进MST
4	MST={v1,v4,v2},选(v4,v3)为2,将v3收录进MST
5	不能选(v4,v2)3,会构成回路。所以接着选(v4,v7)4,将v7收录进MST
6	选(v7,v6)为1,将v6收录进MST
7	(v7,v5)6,将v7收录进MST

  • T = O(|V|^2) ---稠密图合算

代码描述如下:

/* 邻接矩阵存储 - Prim最小生成树算法 */
 
Vertex FindMinDist( MGraph Graph, WeightType dist[] )
{ /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */
    Vertex MinV, V;
    WeightType MinDist = INFINITY;
 
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {
        if ( dist[V]!=0 && dist[V]<MinDist) {
            /* 若V未被收录,且dist[V]更小 */
            MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */
            MinV = V; /* 更新对应顶点 */
        }
    }
    if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */
        return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */
    else return ERROR;  /* 若这样的顶点不存在,返回-1作为标记 */
}
 
int Prim( MGraph Graph, LGraph MST )
{ /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST,返回最小权重和 */
    WeightType dist[MaxVertexNum], TotalWeight;
    Vertex parent[MaxVertexNum], V, W;
    int VCount;
    Edge E;
     
    /* 初始化。默认初始点下标是0 */
       for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {
        /* 这里假设若V到W没有直接的边,则Graph->G[V][W]定义为INFINITY */
           dist[V] = Graph->G[0][V];
           parent[V] = 0; /* 暂且定义所有顶点的父结点都是初始点0 */ 
    }
    TotalWeight = 0; /* 初始化权重和     */
    VCount = 0;      /* 初始化收录的顶点数 */
    /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */
    MST = CreateGraph(Graph->Nv);
    E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立空的边结点 */
            
    /* 将初始点0收录进MST */
    dist[0] = 0;
    VCount ++;
    parent[0] = -1; /* 当前树根是0 */
 
    while (1) {
        V = FindMinDist( Graph, dist );
        /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */
        if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */
            break;   /* 算法结束 */
             
        /* 将V及相应的边<parent[V], V>收录进MST */
        E->V1 = parent[V];
        E->V2 = V;
        E->Weight = dist[V];
        InsertEdge( MST, E );
        TotalWeight += dist[V];
        dist[V] = 0;
        VCount++;
         
        for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */
            if ( dist[W]!=0 && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {
            /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */
                if ( Graph->G[V][W] < dist[W] ) {
                /* 若收录V使得dist[W]变小 */
                    dist[W] = Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */
                    parent[W] = V; /* 更新树 */
                }
            }
    } /* while结束*/
    if ( VCount < Graph->Nv ) /* MST中收的顶点不到|V|个 */
       TotalWeight = ERROR;
    return TotalWeight;   /* 算法执行完毕,返回最小权重和或错误标记 */
}

Kruskal算法— 将森林合并成树

  • 其思想就是直接了当的贪心,每次都将权值最短的边收进来:可以将每个顶点都看成一棵树,然后将权值最短的边的顶点连接起来,在不构成回路的情况下,将这些森林合并成一棵树。

  • 具体算法设计时我们应该考虑到效率问题,选取权值最小边时应使用最小堆来存储结构;还有一个难点就是怎么判断新加入一条边后构不构成回路?这里可以使用并查集。

步骤	 
1	选取一条最小边(v1,v4)为1
2	选取一条最小边(v6,v7)为1
3	选取一条最小边(v1,v2)为2
4	选取一条最小边(v3,v4)为2
5	不能选取最小边(v2,v4)3会构成回路
6	选取一条最小边(v7,v4)为4
7	选取一条最小边(v5,v7)为6

  • T= O(|E|log|E|)

代码描述:

/* 邻接表存储 - Kruskal最小生成树算法 */
 
/*-------------------- 顶点并查集定义 --------------------*/
typedef Vertex ElementType; /* 默认元素可以用非负整数表示 */
typedef Vertex SetName;     /* 默认用根结点的下标作为集合名称 */
typedef ElementType SetType[MaxVertexNum]; /* 假设集合元素下标从0开始 */
 
void InitializeVSet( SetType S, int N )
{ /* 初始化并查集 */
    ElementType X;
 
    for ( X=0; X<N; X++ ) S[X] = -1;
}
 
void Union( SetType S, SetName Root1, SetName Root2 )
{ /* 这里默认Root1和Root2是不同集合的根结点 */
    /* 保证小集合并入大集合 */
    if ( S[Root2] < S[Root1] ) { /* 如果集合2比较大 */
        S[Root2] += S[Root1];     /* 集合1并入集合2  */
        S[Root1] = Root2;
    }
    else {                         /* 如果集合1比较大 */
        S[Root1] += S[Root2];     /* 集合2并入集合1  */
        S[Root2] = Root1;
    }
}
 
SetName Find( SetType S, ElementType X )
{ /* 默认集合元素全部初始化为-1 */
    if ( S[X] < 0 ) /* 找到集合的根 */
        return X;
    else
        return S[X] = Find( S, S[X] ); /* 路径压缩 */
}
 
bool CheckCycle( SetType VSet, Vertex V1, Vertex V2 )
{ /* 检查连接V1和V2的边是否在现有的最小生成树子集中构成回路 */
    Vertex Root1, Root2;
 
    Root1 = Find( VSet, V1 ); /* 得到V1所属的连通集名称 */
    Root2 = Find( VSet, V2 ); /* 得到V2所属的连通集名称 */
 
    if( Root1==Root2 ) /* 若V1和V2已经连通,则该边不能要 */
        return false;
    else { /* 否则该边可以被收集,同时将V1和V2并入同一连通集 */
        Union( VSet, Root1, Root2 );
        return true;
    }
}
/*-------------------- 并查集定义结束 --------------------*/
 
/*-------------------- 边的最小堆定义 --------------------*/
void PercDown( Edge ESet, int p, int N )
{ /* 改编代码4.24的PercDown( MaxHeap H, int p )    */
  /* 将N个元素的边数组中以ESet[p]为根的子堆调整为关于Weight的最小堆 */
    int Parent, Child;
    struct ENode X;
 
    X = ESet[p]; /* 取出根结点存放的值 */
    for( Parent=p; (Parent*2+1)<N; Parent=Child ) {
        Child = Parent * 2 + 1;
        if( (Child!=N-1) && (ESet[Child].Weight>ESet[Child+1].Weight) )
            Child++;  /* Child指向左右子结点的较小者 */
        if( X.Weight <= ESet[Child].Weight ) break; /* 找到了合适位置 */
        else  /* 下滤X */
            ESet[Parent] = ESet[Child];
    }
    ESet[Parent] = X;
}
 
void InitializeESet( LGraph Graph, Edge ESet )
{ /* 将图的边存入数组ESet,并且初始化为最小堆 */
    Vertex V;
    PtrToAdjVNode W;
    int ECount;
 
    /* 将图的边存入数组ESet */
    ECount = 0;
    for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ )
        for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next )
            if ( V < W->AdjV ) { /* 避免重复录入无向图的边,只收V1<V2的边 */
                ESet[ECount].V1 = V;
                ESet[ECount].V2 = W->AdjV;
                ESet[ECount++].Weight = W->Weight;
            }
    /* 初始化为最小堆 */
    for ( ECount=Graph->Ne/2; ECount>=0; ECount-- )
        PercDown( ESet, ECount, Graph->Ne );
}
 
int GetEdge( Edge ESet, int CurrentSize )
{ /* 给定当前堆的大小CurrentSize,将当前最小边位置弹出并调整堆 */
 
    /* 将最小边与当前堆的最后一个位置的边交换 */
    Swap( &ESet[0], &ESet[CurrentSize-1]);
    /* 将剩下的边继续调整成最小堆 */
    PercDown( ESet, 0, CurrentSize-1 );
 
    return CurrentSize-1; /* 返回最小边所在位置 */
}
/*-------------------- 最小堆定义结束 --------------------*/
 
 
int Kruskal( LGraph Graph, LGraph MST )
{ /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST,返回最小权重和 */
    WeightType TotalWeight;
    int ECount, NextEdge;
    SetType VSet; /* 顶点数组 */
    Edge ESet;    /* 边数组 */
 
    InitializeVSet( VSet, Graph->Nv ); /* 初始化顶点并查集 */
    ESet = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode)*Graph->Ne );
    InitializeESet( Graph, ESet ); /* 初始化边的最小堆 */
    /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */
    MST = CreateGraph(Graph->Nv);
    TotalWeight = 0; /* 初始化权重和     */
    ECount = 0;      /* 初始化收录的边数 */
 
    NextEdge = Graph->Ne; /* 原始边集的规模 */
    while ( ECount < Graph->Nv-1 ) {  /* 当收集的边不足以构成树时 */
        NextEdge = GetEdge( ESet, NextEdge ); /* 从边集中得到最小边的位置 */
        if (NextEdge < 0) /* 边集已空 */
            break;
        /* 如果该边的加入不构成回路,即两端结点不属于同一连通集 */
        if ( CheckCycle( VSet, ESet[NextEdge].V1, ESet[NextEdge].V2 )==true ) {
            /* 将该边插入MST */
            InsertEdge( MST, ESet+NextEdge );
            TotalWeight += ESet[NextEdge].Weight; /* 累计权重 */
            ECount++; /* 生成树中边数加1 */
        }
    }
    if ( ECount < Graph->Nv-1 )
        TotalWeight = -1; /* 设置错误标记,表示生成树不存在 */
 
    return TotalWeight;
}

Reference

C/C++基本语法学习 STL C++ primer
posted @ 2017-04-29 18:01  ranjiewen  阅读(721)  评论(0编辑  收藏  举报