最小生成树Minimum Spanning Tree

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图,且包含原图中的所有 n 个结点,并且有保持图连通的最少的边。

  树: 无回路

     |V|个顶点,一定有|V|-1条边

  生成树: 包含全部顶点

             |V|-1 条边都在图里

  边权重和最小

最小生成树存在<--->图联通

向生成树中任加一条边都一定构成回路

贪心算法

  “贪”:每一步都要最好的

  “好”:权重最小的边

  需要约束:

    ①只能用图里有的边

    ②只能正好用掉|V|-1条边

    ③不能有回路

 

Prim算法— 让一棵小树长大

步骤  
1 任意选取v1为顶点开始,并将v1收录进MST
2 v1有三条边,选取最短边(v1,v4)为1,并将v4收录进MST
3 MST={v1,v4}的边中在选取最小的(v1,v2)为2,将v2收录进MST
4 MST={v1,v4,v2},选(v4,v3)为2,将v3收录进MST
5 不能选(v4,v2)3,会构成回路。所以接着选(v4,v7)4,将v7收录进MST
6 选(v7,v6)为1,将v6收录进MST
7 (v7,v5)6,将v7收录进MST

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T = O(|V|^2) ---稠密图合算

 1 /* 邻接矩阵存储 - Prim最小生成树算法 */
 2  
 3 Vertex FindMinDist( MGraph Graph, WeightType dist[] )
 4 { /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */
 5     Vertex MinV, V;
 6     WeightType MinDist = INFINITY;
 7  
 8     for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {
 9         if ( dist[V]!=0 && dist[V]<MinDist) {
10             /* 若V未被收录,且dist[V]更小 */
11             MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */
12             MinV = V; /* 更新对应顶点 */
13         }
14     }
15     if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */
16         return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */
17     else return ERROR;  /* 若这样的顶点不存在,返回-1作为标记 */
18 }
19 
20 /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST,返回最小权重和 */ 
21 int Prim( MGraph Graph, LGraph MST )
22 { 
23     WeightType dist[MaxVertexNum], TotalWeight;
24     Vertex parent[MaxVertexNum], V, W;
25     int VCount;
26     Edge E;
27      
28     /* 初始化。默认初始点下标是0 */
29        for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {
30         /* 这里假设若V到W没有直接的边,则Graph->G[V][W]定义为INFINITY */
31            dist[V] = Graph->G[0][V];
32            parent[V] = 0; /* 暂且定义所有顶点的父结点都是初始点0 */ 
33     }
34     TotalWeight = 0; /* 初始化权重和     */
35     VCount = 0;      /* 初始化收录的顶点数 */
36     /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */
37     MST = CreateGraph(Graph->Nv);
38     E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立空的边结点 */
39             
40     /* 将初始点0收录进MST */
41     dist[0] = 0;
42     VCount ++;
43     parent[0] = -1; /* 当前树根是0 */
44  
45     while (1) {
46         V = FindMinDist( Graph, dist );
47         /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */
48         if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */
49             break;   /* 算法结束 */
50              
51         /* 将V及相应的边<parent[V], V>收录进MST */
52         E->V1 = parent[V];
53         E->V2 = V;
54         E->Weight = dist[V];
55         InsertEdge( MST, E );
56         TotalWeight += dist[V];
57         dist[V] = 0;
58         VCount++;
59          
60         for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */
61             if ( dist[W]!=0 && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {
62             /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */
63                 if ( Graph->G[V][W] < dist[W] ) {
64                 /* 若收录V使得dist[W]变小 */
65                     dist[W] = Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */
66                     parent[W] = V; /* 更新树 */
67                 }
68             }
69     } /* while结束*/
70     if ( VCount < Graph->Nv ) /* MST中收的顶点不到|V|个 */
71        TotalWeight = ERROR;
72     return TotalWeight;   /* 算法执行完毕,返回最小权重和或错误标记 */
73 }
View Code

 

Kruskal算法— 将森林合并成树

步骤  
1 选取一条最小边(v1,v4)为1
2 选取一条最小边(v6,v7)为1
3 选取一条最小边(v1,v2)为2
4 选取一条最小边(v3,v4)为2
5 不能选取最小边(v2,v4)3会构成回路
6 选取一条最小边(v7,v4)为4
7 选取一条最小边(v5,v7)为6

 

T= O(|E|log|E|)

  1 /* 邻接表存储 - Kruskal最小生成树算法 */
  2  
  3 /*-------------------- 顶点并查集定义 --------------------*/
  4 typedef Vertex ElementType; /* 默认元素可以用非负整数表示 */
  5 typedef Vertex SetName;     /* 默认用根结点的下标作为集合名称 */
  6 typedef ElementType SetType[MaxVertexNum]; /* 假设集合元素下标从0开始 */
  7  
  8 void InitializeVSet( SetType S, int N )
  9 { /* 初始化并查集 */
 10     ElementType X;
 11  
 12     for ( X=0; X<N; X++ ) S[X] = -1;
 13 }
 14  
 15 void Union( SetType S, SetName Root1, SetName Root2 )
 16 { /* 这里默认Root1和Root2是不同集合的根结点 */
 17     /* 保证小集合并入大集合 */
 18     if ( S[Root2] < S[Root1] ) { /* 如果集合2比较大 */
 19         S[Root2] += S[Root1];     /* 集合1并入集合2  */
 20         S[Root1] = Root2;
 21     }
 22     else {                         /* 如果集合1比较大 */
 23         S[Root1] += S[Root2];     /* 集合2并入集合1  */
 24         S[Root2] = Root1;
 25     }
 26 }
 27  
 28 SetName Find( SetType S, ElementType X )
 29 { /* 默认集合元素全部初始化为-1 */
 30     if ( S[X] < 0 ) /* 找到集合的根 */
 31         return X;
 32     else
 33         return S[X] = Find( S, S[X] ); /* 路径压缩 */
 34 }
 35  
 36 bool CheckCycle( SetType VSet, Vertex V1, Vertex V2 )
 37 { /* 检查连接V1和V2的边是否在现有的最小生成树子集中构成回路 */
 38     Vertex Root1, Root2;
 39  
 40     Root1 = Find( VSet, V1 ); /* 得到V1所属的连通集名称 */
 41     Root2 = Find( VSet, V2 ); /* 得到V2所属的连通集名称 */
 42  
 43     if( Root1==Root2 ) /* 若V1和V2已经连通,则该边不能要 */
 44         return false;
 45     else { /* 否则该边可以被收集,同时将V1和V2并入同一连通集 */
 46         Union( VSet, Root1, Root2 );
 47         return true;
 48     }
 49 }
 50 /*-------------------- 并查集定义结束 --------------------*/
 51  
 52 /*-------------------- 边的最小堆定义 --------------------*/
 53 void PercDown( Edge ESet, int p, int N )
 54 { /* 改编代码4.24的PercDown( MaxHeap H, int p )    */
 55   /* 将N个元素的边数组中以ESet[p]为根的子堆调整为关于Weight的最小堆 */
 56     int Parent, Child;
 57     struct ENode X;
 58  
 59     X = ESet[p]; /* 取出根结点存放的值 */
 60     for( Parent=p; (Parent*2+1)<N; Parent=Child ) {
 61         Child = Parent * 2 + 1;
 62         if( (Child!=N-1) && (ESet[Child].Weight>ESet[Child+1].Weight) )
 63             Child++;  /* Child指向左右子结点的较小者 */
 64         if( X.Weight <= ESet[Child].Weight ) break; /* 找到了合适位置 */
 65         else  /* 下滤X */
 66             ESet[Parent] = ESet[Child];
 67     }
 68     ESet[Parent] = X;
 69 }
 70  
 71 void InitializeESet( LGraph Graph, Edge ESet )
 72 { /* 将图的边存入数组ESet,并且初始化为最小堆 */
 73     Vertex V;
 74     PtrToAdjVNode W;
 75     int ECount;
 76  
 77     /* 将图的边存入数组ESet */
 78     ECount = 0;
 79     for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ )
 80         for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next )
 81             if ( V < W->AdjV ) { /* 避免重复录入无向图的边,只收V1<V2的边 */
 82                 ESet[ECount].V1 = V;
 83                 ESet[ECount].V2 = W->AdjV;
 84                 ESet[ECount++].Weight = W->Weight;
 85             }
 86     /* 初始化为最小堆 */
 87     for ( ECount=Graph->Ne/2; ECount>=0; ECount-- )
 88         PercDown( ESet, ECount, Graph->Ne );
 89 }
 90  
 91 int GetEdge( Edge ESet, int CurrentSize )
 92 { /* 给定当前堆的大小CurrentSize,将当前最小边位置弹出并调整堆 */
 93  
 94     /* 将最小边与当前堆的最后一个位置的边交换 */
 95     Swap( &ESet[0], &ESet[CurrentSize-1]);
 96     /* 将剩下的边继续调整成最小堆 */
 97     PercDown( ESet, 0, CurrentSize-1 );
 98  
 99     return CurrentSize-1; /* 返回最小边所在位置 */
100 }
101 /*-------------------- 最小堆定义结束 --------------------*/
102  
103  
104 int Kruskal( LGraph Graph, LGraph MST )
105 { /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST,返回最小权重和 */
106     WeightType TotalWeight;
107     int ECount, NextEdge;
108     SetType VSet; /* 顶点数组 */
109     Edge ESet;    /* 边数组 */
110  
111     InitializeVSet( VSet, Graph->Nv ); /* 初始化顶点并查集 */
112     ESet = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode)*Graph->Ne );
113     InitializeESet( Graph, ESet ); /* 初始化边的最小堆 */
114     /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */
115     MST = CreateGraph(Graph->Nv);
116     TotalWeight = 0; /* 初始化权重和     */
117     ECount = 0;      /* 初始化收录的边数 */
118  
119     NextEdge = Graph->Ne; /* 原始边集的规模 */
120     while ( ECount < Graph->Nv-1 ) {  /* 当收集的边不足以构成树时 */
121         NextEdge = GetEdge( ESet, NextEdge ); /* 从边集中得到最小边的位置 */
122         if (NextEdge < 0) /* 边集已空 */
123             break;
124         /* 如果该边的加入不构成回路,即两端结点不属于同一连通集 */
125         if ( CheckCycle( VSet, ESet[NextEdge].V1, ESet[NextEdge].V2 )==true ) {
126             /* 将该边插入MST */
127             InsertEdge( MST, ESet+NextEdge );
128             TotalWeight += ESet[NextEdge].Weight; /* 累计权重 */
129             ECount++; /* 生成树中边数加1 */
130         }
131     }
132     if ( ECount < Graph->Nv-1 )
133         TotalWeight = -1; /* 设置错误标记,表示生成树不存在 */
134  
135     return TotalWeight;
136 }
View Code

 

posted on 2016-04-25 22:46  kuotian  阅读(705)  评论(0编辑  收藏  举报