同底数幂的乘法法则

题目

设\(a>0,\alpha,\beta\)为任意两个实数，则有\(a^\alpha\cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta}\)

证明

先证明\(a>1\)时的情形

根据实数指数幂的定义知

\[a^\alpha=sup\{a^r|r\leq \alpha,r为有理数\}\\ a^\beta=sup\{a^r|r\leq \beta,r为有理数\}\\ \]

根据上确界的定义可知，对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，（限定一下\(\varepsilon\)的范围，\(\varepsilon<\min\{a^\alpha,a^\beta\}\))，存在有理数\(r\leq\alpha,s\leq\beta\)，使得

\[a^\alpha-\varepsilon<a^r\\ a^\beta-\varepsilon<a^s \]

由于\(r+s\leq\alpha+\beta\)，所以\(a^r\cdot a^s=a^{r+s}\leq a^{\alpha+\beta}\Rightarrow(a^\alpha-\varepsilon)(a^\beta-\varepsilon)<a^{r+s}\leq a^{\alpha+\beta}\)，展开得

\[(a^\alpha-\varepsilon)(a^\beta-\varepsilon)<a^{\alpha+\beta}\\ \Rightarrow a^\alpha a^\beta-\varepsilon a^\alpha-\varepsilon a^\beta+\varepsilon^2<a^{\alpha+\beta}\\ \]

由\(\varepsilon\)的任意性，使\(\varepsilon\rightarrow0^+\)，左边的极限为\(a^\alpha\cdot a^\beta\)，由极限的保不等式性可得：

\[a^\alpha\cdot a^\beta\leq a^{\alpha+\beta}\tag1 \]

又根据实指数乘幂的定义知

\[a^{\alpha+\beta}=sup\{a^r|r\leq \alpha+\beta,r为有理数\} \]

根据上确界的定义可知，对于上述任意给定的\(\varepsilon>0\)，存在有理数\(p\leq\alpha+\beta\)，使得

\[a^{\alpha+\beta}-\varepsilon<a^{p} \]

分两种情况讨论

• 当\(\alpha+\beta\)为无理数时，\(p\neq\alpha+\beta\)，只有\(p<\alpha+\beta\)；
• 当\(\alpha+\beta\)为有理数时，设\(\alpha+\beta=M\)，构建一个数列\(\{r_n\}\)

\[r_n=M-\frac1 n，n=1,2,3\dots \]

显然，每个\(r_n\)都是有理数，且\(r_n<M\)，当\(n\)越来越大时，\(r_n\)无限趋近于\(M\)，对应的幂为

\[a^{r_n}=a^{M-\frac1 n}=a^M\cdot a^{-\frac1 n}=\frac{a^M}{a^{\frac1 n}} \]

分子是与\(n\)无关的数，只需证明\(\lim\limits_{n\to+\infty}{a^{\frac1 n}}=1\)，（证明），即可证明\(\lim\limits_{n\to+\infty}{a^{r_n}}=a^M\)
因为\(\lim\limits_{n\to+\infty}{a^{r_n}}=a^M\)，所以对于上述给定的正数\(\varepsilon\)，存在正整数\(N\)，使得当\(n>N时\)，有

\[a^M-a^{r_n}<\varepsilon\\[3ex] \Rightarrow a^{r_n}>a^M-\varepsilon \]

任取符合上述条件的一个\(r_n\)，并令\(p=r_n\)，则有\(p<M=\alpha+\beta\)，且

\[a^p>a^{\alpha+\beta}-\varepsilon \]

由\(p<\alpha+\beta\Rightarrow p-\beta<\alpha\)，由有理数的稠密性知，存在有理数\(r'\)满足

\[p-\beta<r'<\alpha \]

令\(s'=p-r'\)，则\(s'\)也是有理数，且

\[s'=p-r'<p-(p-\beta)=\beta \]

于是有

\[a^{\alpha+\beta}-\varepsilon<a^p=a^{r'+s'}=a^{r'}\cdot a^{s'}\leq a^\alpha\cdot a^\beta \]

由\(\varepsilon\)的任意性可推出，当\(\varepsilon \rightarrow0^+\)时，左边的极限是\(a^{\alpha+\beta}\)，根据极限的保不等式性，可知：

\[a^{\alpha+\beta}\leq a^\alpha\cdot a^\beta\tag2 \]

由\((1)(2)\)可知

\[a^\alpha\cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta} \]

再证当\(0<a<1\)时的情形

令\(b=\frac{1}{a}\)，则有\(b>1\)，

推论：设\(a>0，x\)为任意实数，证明\((\frac1 a)^x=\frac1{a^x}\)
证明过程

则

\[a^\alpha\cdot a^\beta=(\frac{1}{b})^\alpha\cdot(\frac{1}{b})^\beta=\frac{1}{b^\alpha}\cdot\frac{1}{b^\beta}=\frac{1}{b^\alpha\cdot b^\beta}=\frac{1}{b^{\alpha+\beta}}=\frac{1}{(\frac{1}{a})^{\alpha+\beta}}=\frac{1}{\frac{1}{a^{\alpha+\beta}}}=a^{\alpha+\beta} \]

最后证\(a=1\)的情形

\[a^\alpha\cdot a^\beta=1^\alpha\cdot1^\beta=1\\ a^{\alpha+\beta}=1^{\alpha+\beta}=1 \]

得证。