负指数幂推导

题目

设\(a>0，x\in\mathbb{R}\)，证明\(a^{-x}=\frac1 {a^x}\)

证明

1. 先证明\(x\in\mathbb{Z}\)的情形
   对正整数\(n\)，定义\(a^{-n}=\frac1{a^n},a^0=1\)
   • \(x=n>0:a^{-x}=a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\frac{1}{a^x}\)（定义即得）
   • \(x=0:a^{-x}=a^{-0}=a^0=1=\frac{1}{a^0}=\frac{1}{a^x}\)
   • \(x=-n:a^{-(-n)}=a^n=\frac{1}{\frac{1}{a^n}}=\frac{1}{a^{-n}}\)
2. 再证明\(x\in\mathbb{Q}\)的情形
   设\(r=\frac{p}{q}\)(\(p,q\)为整数，\(q>0\))，即任意有理数，根据有理指数幂的定义：
   \[a^{r}=a^{\frac{p}{q}}=(a^{\frac{1}{q}})^p \]
   令\(b=a^{\frac{1}{q}}>0\)，由负整数指数乘幂知\(b^{-p}=\frac{1}{b^p}\)，代入得
   \[a^{-r}=a^{-\frac{p}{q}}=(a^{\frac{1}{q}})^{-p}=b^{-p}=\frac{1}{b^p}=\frac{1}{(a^{\frac{1}{q}})^p}=\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}=\frac{1}{a^r} \]

3. 再证明\(x\in\mathbb{R}\)的情形
   1. 当\(a>1\)时，根据实数指数幂的定义
      \[a^{-x}=\sup\{a^s\mid s\leq-x，且s是有理数\} \]
      做变量替换，\(s=-r\)（\(r\)为有理数），则\(s\leq-x\Longleftrightarrow r\geq x\)，代入得
      \[a^{-x}=\sup\{a^{-r}\mid r\geq x，r为有理数\} \]
      代入有理数情形的结论\(a^{-r}=\frac{1}{a^r}\)，得
      \[a^{-x}=\sup\{\frac{1}{a^r}\mid r\geq x，r为有理数\} \]
      由实数指数幂的定义知：
      \[a^x=\sup\{a^r\mid r\leq x,r为有理数\} \]
      根据有理数的稠密性知，上述集合非空，\(a^r>0\)，所有元素均为正数，\(r\leq x\leq\lceil x\rceil\)，因为函数\(a^x\)单调递增，有\(a^r\leq a^{\lceil x\rceil}\)，故集合存在上界，根据确界的倒数性质可得
      \[\frac{1}{a^x}=\inf\{\frac{1}{a^r}\mid r\leq x,r为有理数\} \]
      设
      \[S=\{\frac{1}{a^r}\mid r\leq x,r为有理数\}\\[3ex] T=\{\frac{1}{a^r}\mid r\geq x，r为有理数\}\\[3ex] L=\frac{1}{a^x}=\inf\{\frac{1}{a^r}\mid r\leq x,r为有理数\}\\[3ex] R=a^{-x}=\sup\{\frac{1}{a^r}\mid r\geq x，r为有理数\} \]
      任取一有理数\(r_1\leq x\)，则有\(\frac{1}{a^{r_1}}\in S\)，任取一有理数\(r_2\geq x\)，则有\(\frac{1}{a^{r_2}}\in T\)，由于\(r_1\leq r_2\)，则有\(\frac{1}{a^{r_1}}\geq \frac{1}{a^{r_2}}\)，因为\(r_1,r_2\)都是分别从集合\(S,T\)中任取的，所以集合\(S\)中的元素均大于等于集合\(T\)中的元素，集合\(T\)中的任一元素都是集合\(S\)的下界，\(S\)的下确界\(L\)大于等于集合\(T\)中的所有元素，所以\(L\)是集合\(T\)的一个上界，所以有\(L\geq\sup{T}\)，即
      \[L\geq R\tag1 \]
      根据有理数的稠密性，可分别在区间\((x-\frac{1}{2n},x),(x,x+\frac{1}{2n})(n为任意正整数)\)取到有理数\(s_1,s_2,有x-\frac{1}{2n}<s_1<x<s_2<x+\frac{1}{2n},且\frac{1}{a^{s_1}}\in S,\frac{1}{a^{s_2}}\in T\)，则有
      \[0<s_2-s_1<\frac{1}{n}\\[3ex] \Rightarrow a^{s_2-s_1}<a^{\frac{1}{n}}\\[3ex] \Rightarrow\frac{1}{a^{s_2-s_1}}>\frac{1}{a^{\frac{1}{n}}}>0 \]
      又因为\(s_1<x\)，所以\(\frac{1}{a^{s_1}}\in{S}\)，由确界的性质知
      \[\frac{1}{a^{s_1}}\geq\inf{S}=L\\[3ex] L\geq R\geq\frac{1}{a^{s_2}}>0 \]
      故有
      \[R\geq\frac{1}{a^{s_2}}=\frac{1}{a^{s_2-s_1+s_1}}=\frac{1}{a^{s_2-s_1}\cdot a^{s_1}}=\frac{1}{a^{s_2-s_1}}\cdot\frac{1}{a^{s_1}}>\frac{1}{a^{\frac{1}{n}}}\cdot L \]
      当\(n\to+\infty\)时，\(\lim\limits_{n\to+\infty}{a^{\frac{1}{n}}}=1\)，（证明），故可知
      \[R\geq L\tag2 \]
      由(1)(2)联立知\(L=R\)，即
      \[a^{-x}=\frac{1}{a^x} \]

   2. 当\(0<a<1\)时，令\(b=\frac{1}{a}\)，则有\(b>1\)，

      推论:设\(a>0，x\)为任意实数，证明\((\frac1 a)^x=\frac1{a^x}\)
      证明过程

      故可知
      \[a^{-x}=(\frac{1}{b})^{-x}\stackrel{推论}{=}\frac{1}{b^{-x}}=\frac{1}{\frac{1}{b^x}}=b^x=(\frac{1}{a})^x\stackrel{推论}{=}\frac{1}{a^x} \]

   3. 当\(a=1\)时，有
      \[a^{-x}=1^{-x}=1\\[3ex] \frac{1}{a^x}=\frac{1}{1^x}=\frac1 1=1\\[3ex] a^{-x}=\frac{1}{a^x} \]

得证