n^-1指数幂的极限

题目

设\(a>0,n\in\mathbb{Z}^+\)证明\(\lim\limits_{n\to+\infty}{a^{\frac1 n}}=1\)

证明

1. 当\(a>1\)时
   令\(a=1+h(h>0)\)，\(\frac{h}{n}>0>-1\)，由伯努利不等式得：
   \[(1+\frac{h}{n})^n\geq1+\frac{h}{n}\cdot n=1+h \]
   不等式两边都为正数，所以等式两边同时开\(n\)次方根，不等式号方向不变，即
   \[\sqrt[n]{(1+\frac{h}{n})^n}\geq\sqrt[n]{1+h}\\[3ex] \Rightarrow(1+\frac{h}{n})\geq\sqrt[n]{1+h}=a^{\frac{1}{n}} \]
   即
   \[1<a^{\frac{1}{n}}\leq1+\frac{h}{n}=1+\frac{a-1}{n}\\[3ex] 0<a^{\frac{1}{n}}-1\leq\frac{a-1}{n} \]
   对于任意给定的\(\varepsilon>0，\exists N=\lceil\frac{a-1}{\varepsilon}\rceil\)，使得当\(n>N\)时，有
   \[n>\frac{a-1}{\varepsilon}\\[3ex] \Rightarrow\frac{a-1}{n}<\varepsilon\\[3ex] \Rightarrow a^{\frac{1}{n}}-1<\varepsilon \]
   这就证得了当\(n\to+\infty\)时，\(a^{\frac{1}{n}}\to1\)，即\(\lim\limits_{n\to+\infty}{a^{\frac{1}{n}}}=1\)
2. 当\(0<a<1\)时，令\(b=\frac{1}{a}\)，则有\(b>1\)
   \[a^{\frac1 n}=(\frac{1}{b})^{\frac1 n}=\frac{1}{b^{\frac{1}{n}}}\\[3ex] \lim\limits_{n\to+\infty}{a^{\frac{1}{n}}}=\lim\limits_{n\to+\infty}{\frac{1}{b^\frac{1}{n}}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to+\infty}{b^\frac{1}{n}}}=\frac11=1 \]

3. 当\(a=1\)时，有
   \[\lim\limits_{n\to+\infty}{a^{\frac{1}{n}}}=\lim\limits_{n\to+\infty}{1^{\frac{1}{n}}}=\lim\limits_{n\to+\infty}{1}=1 \]

得证。