数分4.3一推论证明

题目

设\(a>0，x\)为任意实数，证明\((\frac1 a)^x=\frac1{a^x}\)

证明

先证明\(x\)为整数的情形

当\(x=0\)时，\((\frac1 a)^0=1,\frac1 {a^0}=\frac1 1=1，\text{有}(\frac1 a)^0=\frac 1{a^0}\)
当\(x\)为正整数时，设\(n\)为任意正整数，则

\[(\frac1 a)^n=\underbrace{\frac1 a\cdot\frac1 a\cdot\frac1 a\cdots\frac1 a}_{n\text{个}}=\frac{1}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{n\text{个}}}=\frac{1}{a^n}\\ \]

当\(x\)为负整数时，根据负整数指数幂的定义知\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)，则

\[(\frac{1}{a})^{-n}=\frac{1}{(\frac{1}{a})^n}=\frac{1}{\frac{1}{a^n}}=\frac{1}{a^{-n}} \]

再证明\(x\)为有理数的情形

设\(r\)为正有理数，可用\(\frac{p}{q}\)(\(p,q\)为正整数)表示

由第四章第二节例3：若\(x^n=a(a>0,n是正整数)\)，则\(x\)有唯一正数解，设为\(a^\frac1 n，则有(a^{\frac1 n})^n=a\)

可知有

\[(a^{\frac1 q})^q=a \]

两边取倒数得

\[\frac{1}{(a^{\frac1 q})^q}=\frac1 a\\[4ex] \Rightarrow(\frac{1}{a^\frac1 q})^q=\frac1 a \]

由上面的引用可知，正数\(\frac1 a\)有唯一的\(q\)次算术根，所以有

\[\frac1 {a^{\frac1 q}}=(\frac1 a)^{\frac1 q} \]

两边同取\(p\)次方，有

\[(\frac1 {a^{\frac1 q}})^p=(\frac1 a)^{\frac1{q}\cdot p}\\[4ex] \Rightarrow\frac{1}{a^\frac{p}{q}}=(\frac1 a)^{\frac{p}{q}} \]

这就证明了

\[(\frac1 a)^r=\frac1{a^r} \]

当\(x\)为负有理数时，可用\(-\frac{p}{q}\)(\(p,q\)为正整数)表示，根据知\(a^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}\)，则

\[(\frac{1}{a})^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{(\frac{1}{a})^{\frac{p}{q}}}=\frac{1}{\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}}=\frac{1}{a^{-\frac{p}{q}}} \]

再证明\(x\)是实数的情形

当\(a>1\)时，有\(0<\frac1 a<1\)，由实数指数乘幂的定义可知：

\[a^x=\sup\{a^r|r\leq x,r为有理数\} \]

根据确界的倒数性质:设\(S\)是由正实数构成的非空集合，且有上界，则：\(\inf\{\frac{1}{s} \mid s\in S\}=\frac{1}{\sup S}\)

有

\[\inf\{\frac1{a^r}\mid r\leq x,r为有理数\}=\frac1{a^x}\\[4ex] \Rightarrow\inf\{(\frac1 a)^r\mid r\leq x,r为有理数\}=\frac1{a^x} \]

由于\(0<\frac1 a<1\)，则\((\frac1 a)^x\)的定义为\(\inf\{(\frac1 a)^r\mid r\leq x,r为有理数\}\)，等式左边就是\((\frac1 a)^x\)的定义，所以最终得到

\[(\frac1 a)^x=\frac1{a^x} \]

当\(0<a<1\)时，取\(b=\frac1 a\)，则有\(b>1\)，于是有

\[(\frac1 b)^x=\frac1{b^x} \]

代入\(b=\frac1 a\)得

\[a^x=\frac1{(\frac1 a)^x} \]

两边同取倒数得

\[\frac1{a^x}=(\frac1 a)^x \]

即

\[(\frac1 a)^x=\frac1{a^x} \]

得证。